Presentación

La asignatura de Geometría Afín y Euclídea se enmarca dentro de la materia Álgebra, y está ubicada en el punto medio de la misma. Tras estudiar los espacios vectoriales Álgebra y Matemática Discreta de primer cuatrimestre y la diagonalización de matrices en Álgebra Lineal y Multilineal en segundo cuatrimestre, en esta asignatura vamos a trabajar sobre los espacios afines euclídeos. Tomando como punto de partida los espacios vectoriales, que toman como referencia el origen, los espacios afines suponen una generalización del espacio vectorial, en los que cualquier punto puede tomarse como origen. A partir de los espacios afines, surgen una serie de métricas, proyecciones o movimientos que definiremos a lo largo de la asignatura. Gracias a esta nueva definición, trabajaremos sobre espacios afines euclídeos, que suponen el tipo de geometría más popular en otras ramas de las matemáticas y la ingeniería. De este modo, aprenderemos a relacionar y aplicar los conceptos de geometría afín y euclídea sobre a la resolución de cuestiones y problemas geométricos del plano y del espacio. Del mismo modo, operaremos con puntos, vectores, distancias y ángulos en los espacios afines y euclídeos correspondientes, así como con los sistemas de referencia, subespacios y transformaciones relativos a ellos. En la parte final, clasificaremos diferentes tipos de movimientos dados en los espacios afines euclídeos, concluyendo con la definición de cónicas y cuádricas, y la relación existente entre las mismas.

Competencias básicas

• CB1: Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio. .
• CB2: Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
• CB3: Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
• CB4:Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
• CB5:Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.

Competencias generales

• CG1: Ser capaz de aplicar los conocimientos matemáticos de forma rigurosa por medio de la elaboración y defensa de argumentos y en la resolución de problemas.
• CG3: Capacidad de reunir e interpretar datos relevantes, dentro del área de las matemáticas y la computación, para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.

Competencias específicas

• CE1: Capacidad de asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y utilizarlo en otros contextos.
• CE5: Capacidad de seleccionar las propiedades estructurales de objetos matemáticos distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales, y poder probarlas con demostraciones rigurosas o refutarlas con contraejemplos.
• CE8: Capacidad para entender la estructura matemática del espacio finito (algebraica, métrica, analítica) en el que tienen lugar la mayor parte de problemas de la empresa y la ingeniería.
• CE15: Capacidad de comprender y dominar los conceptos básicos de matemática discreta, lógica y complejidad computacional, y su aplicación para la resolución de problemas aplicados a la matemática computacional.

Competencias transversales

• CT1:Aplicar las nuevas tecnologías como herramientas para el intercambio comunicacional en el desarrollo de procesos de indagación y de aprendizaje.
• CT2:Desarrollar habilidades de comunicación, para redactar informes y documentos, o realizar atractivas y eficaces presentaciones de los mismos.

Tema 1. Introducción a los espacios euclídeos

• Introducción y objetivos
  
• Espacios vectoriales
  
• Productos escalares
  
• Espacio vectorial euclídeo
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 2. Propiedad de los elements en los espacio euclídeos

• Introducción y objetivos
  
• La matriz de Gram
  
• Normas
  
• Distancias
  
• Ángulos
  
• La recta y el plano como subespacios vectoriales
  
• Complemento ortogonal
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 3. Bases ortogonales y ortonormales

• Introducción y objetivos
  
• Definición de bases ortogonales y ortonormales
  
• Método de Gram-Schmidt
  
• Proyección ortogonal
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 4. Espacios afines

• Introducción y objetivos
  
• Definición de espacio afín
  
• Espacios afines R2 y R3
  
• Sistemas de referencia
  
• Cuaderno de ejercicios
  

Tema 5. Variedades lineales afines

• Introducción y objetivos
  
• Las variedades lineales afines
  
• Ecuaciones de una variedad lineal afín
  
• Intersección y suma de variedades lineales
  
• Posición relativa de variedades lineales
  
• Cuaderno de ejercicios
  

Tema 6. El espacio afín R3

• Introducción y objetivos
  
• El espacio afín tridimensional
  
• Rectas en el espacio afín
  
• Planos en el espacio afín
  
• Posiciones relativas entre elementos del espacio afín
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 7. Aplicaciones afines

• Introducción y objetivos
  
• Definición de aplicación afín
  
• Grupos de afinidades
  
• Expresión matricial de una aplicación afín
  
• Homotecias
  
• Simetrías
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 8. Espacio afín euclídeo

• Introducción y objetivos
  
• Definición de espacio afín euclídeo
  
• Ortogonalidad en espacios afines euclídeos
  
• Distancia en espacios afines euclídeos
  
• Isometrías
  
• Cuaderno de ejercicios
  

Tema 9. Movimientos

• Introducción y objetivos
  
• Puntos fijos y variedades invariantes
  
• Clasificación de movimientos en el plano
  
• Clasificación de movimientos en el espacio
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 10. Cónicas y cuádricas

• Introducción y objetivos
  
• Definición de cónica
  
• Ecuación reducida de una cónica
  
• Definición de cuádrica
  
• Ecuación reducida de una cuádrica
  
• Relación entre cónicas y cuádricas
  
• Cuaderno de ejercicios
  

Las actividades formativas de la asignatura se han elaborado con el objetivo de adaptar el proceso de aprendizaje a las diferentes capacidades, necesidades e intereses de los alumnos.

Las actividades formativas de esta asignatura son las siguientes:

• Trabajo. Se trata de actividades de diferentes tipos: reflexión, análisis de casos, prácticas, etc.
• Comentario de lecturas. Es un tipo de actividad muy concreto que consiste en el análisis de textos de artículos de autores expertos en diferentes temas de la asignatura.
• Casos prácticos. Situarán al alumno ante situaciones reales que tendrán que analizar y tras ello tomar decisiones, evaluar consecuencias y alternativas.
• Participación en eventos. Son eventos programados todas las semanas del cuatrimestre: sesiones presenciales virtuales, foros de debate.

Descargar programación

Estas actividades formativas prácticas se completan, por supuesto, con estas otras:

• Estudio personal
• Tutorías. Las tutorías se pueden articular a través de diversas herramientas y medios. Durante el desarrollo de la asignatura, el profesor programa tutorías en días concretos para la resolución de dudas de índole estrictamente académico a través de las denominadas «sesiones de consultas». Como complemento de estas sesiones se dispone también del foro «Pregúntale al profesor de la asignatura» a través del cual se articulan algunas preguntas de alumnos y las correspondientes respuestas en el que se tratan aspectos generales de la asignatura. Por la propia naturaleza de los medios de comunicación empleados, no existen horarios a los que deba ajustarse el alumno.
• Examen final presencial

Las horas de dedicación a cada actividad se detallan en la siguiente tabla:

ACTIVIDADES FORMATIVAS	HORAS POR ASIGNATURA	% PRESENCIAL
Sesiones presenciales virtuales	15 horas	100%
Recursos didácticos audiovisuales	6 horas	0
Estudio del material básico	52 horas	0
Lectura del material complementario	25 horas	0
Trabajos, casos prácticos y test de evaluación	17 horas	0
Sesiones prácticas de laboratorio virtual	12 horas	16,7
Tutorías	16 horas	30
Trabajo colaborativo	7 horas	0
Total	150 horas	-

Bibliografía básica

Los textos necesarios para el estudio de la asignatura han sido elaborados por UNIR y están disponibles en formato digital para consulta, descarga e impresión en el aula virtual.

Bibliografía complementaria

• Bracho. J. (2021). Introducción analítica a las geometrías. Fondo de Cultura Económica.
• Bennett, M. K. (2011). Affine and projective geometry. John Wiley & Sons.
• Beutelspacher, A., & Rosenbaum, U. (1998). Projective geometry: from foundations to applications. Cambridge University Press.
• Castellet M, Llerena I. Álgebra lineal y Geometría. Reverté (2010)
• Merino, L. M. y Santos, E. (2006). Álgebra lineal con métodos elementales. Ed. Thomson.
• Gallier, J. H. (2000). Curves and surfaces in geometric modeling: theory and algorithms. Morgan Kaufmann.
• Gallier, J., & Gallier, J. (2011). Basics of affine geometry. Geometric Methods and Applications: For Computer Science and Engineering, 7-63.
• García, J. y López, M. (1992). Álgebra Lineal y Geometría. Editorial Marfil.
• Gigena, S. Molina, F. y Joaquín, D. (2020). Álgebra y geometría: teoría práctica y aplicaciones.. Jorge Sarmiento Editor-Universitas. 
• Izquierdo, J. y Torregrosa, J. R. (1997). Álgebra y ecuaciones diferenciales. Universitat Politècnica de València.
• Lay, D. C., Lay, S. R., y McDonald, J. J. (2016). Álgebra lineal y sus aplicaciones (5a. ed.). Pearson Educación.
• Shafarevich I R, Remizov A O.(2013) Linear Algebra and Geometry. Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
• Snapper, E., & Troyer, R. J. (2014). Metric affine geometry. Elsevier.
• Hernández, E., Vázquez, M. J. y Zurro, M. Á. (2012). Álgebra lineal y geometría (3a. ed.). Pearson Educación.
• Soler, D., Micó Ruiz, J. C. y Cerdán, J. (2003). Problemas de fundamentos matemáticos. Editorial de la Universidad Politécnica de Valencia.
• Kolman, B., Hill, D. R. y Ibarra, V. H. (2013). Álgebra lineal: Fundamentos y aplicaciones. Pearson Educación.
• Vargas, E. y Nuñez, L. A. (2020). Geometría III: geometría analítica plana y del espacio.. Universidad Abierta para Adultos (UAPA). 

El sistema de calificación se basa en la siguiente escala numérica:

0 - 4, 9	Suspenso	(SS)
5,0 - 6,9	Aprobado	(AP)
7,0 - 8,9	Notable	(NT)
9,0 - 10	Sobresaliente	(SB)

La calificación se compone de dos partes principales:

El examen se realiza al final del cuatrimestre y es de carácter PRESENCIAL y OBLIGATORIO. Supone el 60% de la calificación final y para que la nota obtenida en este examen se sume a la nota final, es obligatorio APROBARLO.

La evaluación continua supone el 40% de la calificación final. Este 40% de la nota final se compone de las calificaciones obtenidas en las diferentes actividades formativas llevadas a cabo durante el cuatrimestre.

Sistema de evaluación	Ponderación min - max
Participación del estudiante (sesiones, foros)	0% - 10%
Trabajos, proyectos y/o casos	10% - 20%
Prácticas de laboratorio virtual	20% - 30%
Test de evaluación	0% - 10%
Examen final	60% - 60%

José Fabrizio Pineda Ramos

Formación académica: Graduado en Matemáticas por la Universidad de La Laguna y Máster en Modelización e Investigación Matemática por la Universidad del País Vasco. Ha participado en seminarios periódicos de Geometría Algebraica, Singularidades e Invariantes. Posee también el Máster en Formación del Profesorado en Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de

Experiencia: Ha sido profesor de academia, profesor de cursos de extensión universitaria, profesor de Secundaria y Bachillerato en centros de titularidad pública españoles, profesor adscrito al Área de Álgebra de la Universidad de La Laguna y profesor en la Universidad Internacional de La Rioja. Ha impartido asignaturas del ámbito del álgebra, la geometría y la topología. Ha participado en varios foros y congresos académicos sobre matemática pura y aplicada.

Líneas de investigación: Especializado en topología algebraica, concretamente en el estudio de invariantes numéricos obtenidos a través de estructuras algebraicas asociadas convenientemente a espacios topológicos. Dichos invariantes determinan propiedades deseables sobre espacios topológicos tales como la planificación de movimientos o el número de puntos críticos de funciones continuas definidas sobre aquellos.

Obviamente, al tratarse de formación online puedes organizar tu tiempo de estudio como desees, siempre y cuando vayas cumpliendo las fechas de entrega de actividades, trabajos y exámenes. Nosotros, para ayudarte, te proponemos los siguientes pasos:

1. Desde el Campus virtual podrás acceder al aula virtual de cada asignatura en la que estés matriculado y, además, al aula virtual del Curso de introducción al campus virtual. Aquí podrás consultar la documentación disponible sobre cómo se utilizan las herramientas del aula virtual y sobre cómo se organiza una asignatura en la UNIR y también podrás organizar tu plan de trabajo personal con tu profesor-tutor.
2. Observa la programación semanal. Allí te indicamos qué parte del temario debes trabajar cada semana.
3. Ya sabes qué trabajo tienes que hacer durante la semana. Accede ahora a la sección Temas del aula virtual. Allí encontrarás el material teórico y práctico del tema correspondiente a esa semana.
4. Comienza con la lectura de las Ideas clave del tema. Este resumen te ayudará a hacerte una idea del contenido más importante del tema y de cuáles son los aspectos fundamentales en los que te tendrás que fijar al estudiar el material básico. Consulta, además, las secciones del tema que contienen material complementario.
5. Dedica tiempo al trabajo práctico (sección Actividades y Test). En la programación semanal te detallamos cuáles son las actividades correspondientes a cada semana y qué calificación máxima puedes obtener con cada una de ellas.
6. Te recomendamos que participes en los eventos del curso (sesiones presenciales virtuales, foros de debate…). Para conocer la fecha concreta de celebración de los eventos debes consultar las herramientas de comunicación del aula vitual. Tu profesor y tu profesor-tutor te informarán de las novedades de la asignatura.

En el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual encontrarás siempre disponible la documentación donde te explicamos cómo se estructuran los temas y qué podrás encontrar en cada una de sus secciones.

Recuerda que en el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual puedes consultar el funcionamiento de las distintas herramientas del aula virtual: Correo, Foro, Sesiones presenciales virtuales, Envío de actividades, etc.