Presentación

Esta asignatura se plantea como una extensión natural de la asignatura «Estructuras Algebraicas». En dicha asignatura estudiasteis las principales estructuras algebraicas: grupos, anillos y cuerpos, aunque de los dos últimos solo se estudiaron los conceptos más básicos. Para refrescar estas nociones, esta asignatura empezará con un tema de repaso general de los conceptos principales de la asignatura «Estructuras Algebraicas».

La teoría de Galois se puede resumir como una teoría que nos permite conectar propiedades de los grupos con propiedades de los cuerpos. Así, para resolver un problema que involucre cuerpos, mediante esta teoría podemos reducirlo a un problema que involucre grupos, por lo que será más fácil de resolver. Un ejemplo de este tipo de problemas es el de saber si un polinomio es resoluble por radicales, que gracias a la teoría de Galois se reducirá a comprobar si un cierto grupo asociado es resoluble; para ello, debemos introducir a priori el concepto de grupos resolubles. Por supuesto, también se puede ir en sentido inverso, pasando de problemas sobre cuerpos a problemas sobre grupos.

La teoría de Galois se basa en el concepto de grupo de Galois, pero para definirlo necesitamos introducir varios conceptos previos, como el de «extensión» o el de «cuerpo de descomposición». Por tanto, dedicaremos un tema a introducir dichos conceptos, y otro, a introducir finalmente los grupos de Galois. En particular, los grupos de Galois nos permitirán catalogar las extensiones como normales y/o separables, lo que nos llevará directamente al teorema fundamental de la teoría de Galois, el que nos permite la transferencia de grupos a cuerpos (y viceversa).

En la segunda mitad de la asignatura, estudiaremos las principales aplicaciones de la teoría de Galois: la anteriormente mencionada de resolubilidad, las propiedades específicas de cuerpos finitos, los problemas clásicos (que nacen de realizar construcciones con regla y compás), y el teorema fundamental del álgebra.

Dedicaremos también un tema a un concepto que aparece habitualmente en varias áreas de las matemáticas cuando se trabaja con las raíces de un polinomio: el concepto de clausura algebraica.

Por último, dedicaremos el tema final a una sección avanzada de la teoría de Galois: las extensiones trascendentes.

Competencias básicas

• CB1: Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
• CB2: Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
• CB3: Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
• CB4: Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
• CB5: Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.

Competencias generales

• CG1: Ser capaz de aplicar los conocimientos matemáticos de forma rigurosa por medio de la elaboración y defensa de argumentos y en la resolución de problemas.
• CG3: Capacidad de reunir e interpretar datos relevantes, dentro del área de las matemáticas y la computación, para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.

Competencias específicas

• CE1: Capacidad de asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y utilizarlo en otros contextos.
• CE5: Capacidad de seleccionar las propiedades estructurales de objetos matemáticos distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales, y poder probarlas con demostraciones rigurosas o refutarlas con contraejemplos.

Competencias transversales

• CT1: Aplicar las nuevas tecnologías como herramientas para el intercambio comunicacional en el desarrollo de procesos de indagación y de aprendizaje.
• CT2: Desarrollar habilidades de comunicación, para redactar informes y documentos, o realizar atractivas y eficaces presentaciones de los mismos.

Tema 1. Repaso de estructuras algebraicas

• Introducción y objetivos
• Grupos
• Anillos

Tema 2. Grupos resolubles

• Introducción y objetivos
• Definición y ejemplos
• Caracteres

Tema 3. Extensiones

• Introducción y objetivos
• Definición y ejemplos
• Cuerpos de descomposición
• Elementos primitivos

Tema 4. Grupos de Galois

• Introducción y objetivos
• Automorfismos de cuerpos
• Grupos de Galois

Tema 5. Extensiones normales y separables

• Introducción y objetivos
• Definición y ejemplos
• Teorema fundamental de la teoría de Galois

Tema 6. Cuerpos finitos

• Introducción y objetivos
• Definición y propiedades
• Ejemplos

Tema 8. Aplicaciones de la teoría de Galois

• Introducción y objetivos
• Construcciones con regla y compás
• Teorema fundamental del álgebra

Tema 9. Cuerpos algebraicamente cerrados

• Introducción y objetivos
• Definición y ejemplos
• Existencia de clausuras algebraicas

Tema 10. Extensiones trascendentes

• Introducción y objetivos
• Independencia algebraica
• Bases trascendentes

Las actividades formativas de la asignatura se han elaborado con el objetivo de adaptar el proceso de aprendizaje a las diferentes capacidades, necesidades e intereses de los alumnos.

Las actividades formativas de esta asignatura son las siguientes:

• Trabajos individuales. Se trata de actividades de diferentes tipos: reflexión, análisis de casos, prácticas, análisis de textos, etc.
• Trabajos colaborativos. Son actividades grupales en las que tendrás la oportunidad de trabajar con tus compañeros. Durante el desarrollo de la asignatura tendrás toda la información que necesites sobre cómo organizarte para trabajar en equipo.
• Participación en eventos. Son actividades programadas todas las semanas del cuatrimestre como clases en directo o foros de debate.

Descargar programación

Estas actividades formativas prácticas se completan, por supuesto, con estas otras:

• Estudio personal
• Tutorías. Las tutorías se pueden articular a través de diversas herramientas y medios. Durante el desarrollo de la asignatura, el profesor programa tutorías en días concretos para la resolución de dudas de índole estrictamente académico a través de las denominadas “sesiones de consultas”. Como complemento de estas sesiones se dispone también del foro “Pregúntale al profesor de la asignatura” a través del cual se articulan algunas preguntas de alumnos y las correspondientes respuestas en el que se tratan aspectos generales de la asignatura. Por la propia naturaleza de los medios de comunicación empleados, no existen horarios a los que deba ajustarse el alumno.
• Examen final presencial

Las horas de dedicación a cada actividad se detallan en la siguiente tabla:

ACTIVIDADES FORMATIVAS	HORAS POR ASIGNATURA	% PRESENCIAL
Clases en directo	15 horas	100%
Lecciones magistrales	6 horas	0%
Estudio del material básico	52 horas	0%
Lectura del material complementario	25 horas	0%
Trabajos, casos prácticos y test de autoevaluación	17 horas	0%
Sesiones prácticas de laboratorio virtual	12 horas	16,7%
Tutorías	16 horas	30%
Trabajo colaborativo	7 horas	0%
Total	150 horas	-

Bibliografía básica

Recuerda que la bibliografía básica es imprescindible para el estudio de la asignatura. Cuando se indica que no está disponible en el aula virtual, tendrás que obtenerla por otros medios: librería UNIR, biblioteca...

Los textos necesarios para el estudio de la asignatura han sido elaborados por UNIR y están disponibles en formato digital para consulta, descarga e impresión en el aula virtual.

Bibliografía complementaria

• Altman, A. y Kleiman, S. (2013). A Term of Commutative Algebra. Worldwide Center of Mathematics.
• Artin, M. (2011). Algebra (2ª ed.). Pearson.
• Atiyah, M. F. y MacDonald, I. G. (1969). Introduction to Commutative Algebra. Reading: Addison Wesley Publishing Company.
• Bourbaki, N. (1989). Elements of Mathematics: Commutative Algebra. New York: Springer.
• Jacobson, N. (1985). Basic Algebra I. San Francisco: Freeman.
• Jacobson, N. (1985). Basic Algebra II. San Francisco: Freeman.
• Lang, S. (1990). Undergraduate Algebra. New York: Springer-Verlag.
• Lang, S. (2002). Algebra. New York: Springer-Verlag.
• Reid, M. A. (1995). Undergraduate commutative algebra. Cambridge: Cambridge University Press.

El sistema de calificación se basa en la siguiente escala numérica:

0 - 4, 9	Suspenso	(SS)
5,0 - 6,9	Aprobado	(AP)
7,0 - 8,9	Notable	(NT)
9,0 - 10	Sobresaliente	(SB)

La calificación se compone de dos partes principales:

El examen se realiza al final del cuatrimestre y es de carácter PRESENCIAL y OBLIGATORIO. Supone el 60% de la calificación final y para que la nota obtenida en este examen se sume a la nota final, es obligatorio APROBARLO.

La evaluación continua supone el 40% de la calificación final. Este 40% de la nota final se compone de las calificaciones obtenidas en las diferentes actividades formativas llevadas a cabo durante el cuatrimestre.

Ten en cuenta que la suma de las puntuaciones de las actividades de la evaluación continua permite que realices las que prefieras hasta conseguir el máximo puntuable mencionado. En la programación semanal de la asignatura, se detalla la calificación máxima de cada actividad o evento concreto puntuables.

Sistema de evaluación	Ponderación min - max
Participación del estudiante (sesiones, foros...)	0% - 10%
Trabajos, proyectos y/o casos	10% - 20%
Prácticas de laboratorio virtual	20% - 30%
Test de autoevaluación	0% - 10%
Examen final presencial	60% - 60%

José Fabrizio Pineda Ramos

Formación académica: Máster en Formación del Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas (Universidad de La Laguna y Universidad de Las Palmas de Gran Canaria). Máster en Modelización e Investigación Matemática, Estadística y Computación (Universidad del País Vasco, Universidad de La Rioja, Universidad Pública de Navarra, Universidad de Oviedo, Universidad de La Laguna, Universidad de Zaragoza).

Experiencia: Ha sido profesor de Academia privada y profesor de Secundaria y Bachillerato para la Consejería de Educación de la Junta de Castilla y León. Además, es Profesor Contratado Laboral de Interinidad en la Universidad de La Laguna, concretamente en el Área de Álgebra adscrita al Departamento de Matemáticas, Estadística e Investigación Operativa.
Ha desarrollado su docencia impartiendo diversas asignaturas del Área de Álgebra en el Grado en Matemáticas y el Grado en Física en la ULL.

Líneas de investigación: Interesado en diversas área de la matemática, la que le ocupa actualmente es el la topología algebraica, concretamente el estudio de la complejidad topológica de espacios de configuraciones asociados a sistemas robóticos. No obstante, también está interesado en geometría algebraica y en aspectos topológicos de singularidades de curvas algebraicas.

Al tratarse de formación on line puedes organizar tu tiempo de estudio como desees, siempre y cuando vayas cumpliendo las fechas de entrega de las actividades y la fecha de exámenes. Nosotros, para ayudarte, te proponemos los siguientes pasos:

1. Desde el campus virtual podrás acceder al aula virtual de cada asignatura en la que estés matriculado y, además, al aula virtual del Curso de introducción al campus virtual. Aquí podrás consultar la documentación disponible sobre cómo se utilizan las herramientas del aula virtual y sobre cómo se organiza una asignatura en UNIR. También podrás organizar tu plan de trabajo con tu tutor personal.
2. Observa la programación semanal. Allí te indicamos qué parte del temario debes trabajar cada semana.
3. Ya sabes qué trabajo tienes que hacer durante la semana. Accede ahora a la sección Temas del aula virtual. Allí encontrarás el material teórico del tema correspondiente a esa semana.
4. Comienza con la lectura del contenido teórico del tema. Este material es el que debes estudiar para superar la asignatura. Consulta, además, las secciones del tema que contienen material complementario: con esto podrás tener una visión más amplia sobre el tema que estás trabajando.
5. Dedica tiempo al trabajo práctico (sección Actividades). En la programación semanal te detallamos cuáles son las actividades correspondientes a cada semana y qué calificación máxima puedes obtener con cada una de ellas.
6. Te recomendamos que participes en los eventos del curso (clases en directo, foros de debate, etc.). Para conocer la fecha concreta de celebración de los eventos debes consultar las herramientas de comunicación del aula vitual. Tu profesor y tu tutor personal te informarán de las novedades de la asignatura.

En el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual encontrarás siempre disponible la documentación donde te explicamos cómo se estructuran los temas y qué podrás encontrar en cada una de sus secciones. También puedes consulltar ahí el funcionamiento de las distintas herramientas del aula virtual: correo, foro, clases en directo, envío de actividades, etc.