Presentación

En la asignatura «Cálculo II» continuaremos con la presentación de los conceptos básicos del cálculo en una variable, iniciada en «Cálculo I». En este curso veremos las bases del cálculo integral en una variable y sus aplicaciones. También estudiaremos los fundamentos de las series numéricas y sus criterios de convergencia. Estos conceptos serán fundamentales en el desarrollo de las posteriores asignaturas de análisis y cálculo del Grado.

El objetivo de la asignatura «Cálculo II» es que el alumno aprenda los conceptos teóricos y prácticos del uso de las integrales y las series numéricas, así como sus aplicaciones.

A tal efecto, esta asignatura está dividida en cuatro bloques. En el primer bloque se presentan los principales conceptos de la teoría de integración en una variable: la integral de Riemann y el teorema fundamental del cálculo. También se explican las técnicas de integración por cambio de variable y por partes. En el segundo bloque se presentan las principales aplicaciones de la integración en el cálculo de áreas y volúmenes y se explican los métodos más usuales para la resolución de integrales de funciones racionales, irracionales y trigonométricas. En el tercer bloque se estudian las series numéricas y se presentan los criterios de convergencia principales. Finalmente, en el cuarto bloque se presenta el cálculo de las integrales impropias y se introducen las funciones Eulerianas.

Competencias básicas

• CB1: Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
• CB2: Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
• CB3: Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
• CB4: Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
• CB5: Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.

Competencias generales

• CG1: Ser capaz de aplicar los conocimientos matemáticos de forma rigurosa por medio de la elaboración y defensa de argumentos y en la resolución de problemas.
• CG2: Capacidad de obtener información y saber interpretarla utilizando el software matemático más adecuado en cada caso.

Competencias específicas

• CE1: Capacidad de asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y utilizarlo en otros contextos.
• CE5: Capacidad de seleccionar las propiedades estructurales de objetos matemáticos distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales, y poder probarlas con demostraciones rigurosas o refutarlas con contraejemplos.
• CE7: Capacidad de utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización para la resolución de problemas.

Competencias transversales

• CT1: Aplicar las nuevas tecnologías como herramientas para el intercambio comunicacional en el desarrollo de procesos de indagación y de aprendizaje.
• CT2: Desarrollar habilidades de comunicación, para redactar informes y documentos, o realizar atractivas y eficaces presentaciones de los mismos.

Tema 1. La integral de Riemann

• Introducción y objetivos
• Aproximación y cálculo de áreas
• Las sumas de Riemann
• La integral de Riemann
• Propiedades de la integral de Riemann
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 2. Teorema fundamental del cálculo

• Introducción y objetivos
• El Teorema fundamental del cálculo
• La integral indefinida
• Aplicaciones
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 3. Técnicas de integración: Cambio de variables

• Introducción y objetivos
• El cambio de variables
• Ejemplos de uso del cambio de variables
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 4. Técnicas de integración: Integración por partes

• Introducción y objetivos
• La integración por partes
• Ejemplos de uso de la integración por partes
• Expresión integral del término complementario de la fórmula de Taylor
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 5. Aplicaciones de la integral definida

• Introducción y objetivos
• Cálculo del área delimitada por una curva
• Cálculo de áreas delimitadas por dos curvas
• Cálculo de volúmenes
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 6. Integración de funciones racionales e irracionales

• Introducción y objetivos
• Descomposición de funciones racionales en sumas de fracciones parciales
• Integración de las fracciones parciales
• Integración de funciones irracionales
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 7. Integración de funciones trigonométricas

• Introducción y objetivos
• Integrales de potencias trigonométricas
• Integrales de la forma sen(mx) cos(nx) y similares
• Integrales de funciones racionales trigonométricas
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 8. Series numéricas

• Introducción y objetivos
• Convergencia. Propiedades de convergencia
• Series de términos positivos. Criterios de convergencia
• Series alternadas
• Convergencia absoluta
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 9. Integrales impropias

• Introducción y objetivos
• Integrales impropias
• Propiedades de las integrales impropias
• Criterios de convergencia
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 10. Integrales dependientes de un parámetro. Funciones Eulerianas

• Introducción y objetivos
• Integrales dependientes de un parámetro
• Función Gamma de Euler
• Función Beta de Euler
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Las actividades formativas de la asignatura se han elaborado con el objetivo de adaptar el proceso de aprendizaje a las diferentes capacidades, necesidades e intereses de los alumnos.

Las actividades formativas de esta asignatura son las siguientes:

• Trabajo. Se trata de actividades de diferentes tipos: reflexión, análisis de casos, prácticas, etc.
• Laboratorio virtual. Se trata de actividades que incluyen la preparación e impartición de sesiones prácticas por parte del docente para que, después, cada alumno realice los ejercicios propuestos empleando herramientas informáticas.
• Participación en eventos. Son eventos programados todas las semanas del cuatrimestre: clases en directo, foros de debate.

Descargar programación

Estas actividades formativas prácticas se completan, por supuesto, con estas otras:

• Estudio personal
• Tutorías. Las tutorías se pueden articular a través de diversas herramientas y medios. Durante el desarrollo de la asignatura, el profesor programa tutorías en días concretos para la resolución de dudas de índole estrictamente académico a través de las denominadas “sesiones de consultas”. Como complemento de estas sesiones se dispone también del foro “Pregúntale al profesor de la asignatura” a través del cual se articulan algunas preguntas de alumnos y las correspondientes respuestas en el que se tratan aspectos generales de la asignatura. Por la propia naturaleza de los medios de comunicación empleados, no existen horarios a los que deba ajustarse el alumno.
• Examen final presencial

Las horas de dedicación a cada actividad se detallan en la siguiente tabla:

ACTIVIDADES FORMATIVAS	HORAS POR ASIGNATURA	% PRESENCIAL
Sesiones presenciales virtuales	15 horas	100%
Recursos didácticos audiovisuales	6 horas	0%
Estudio del material básico	52 horas	0%
Lectura del material complementario	25 horas	0%
Trabajos, casos prácticos y test de evaluación	17 horas	0%
Sesiones prácticas de laboratorio virtual	12 horas	16,7%
Tutorías	16 horas	30%
Trabajo colaborativo	7 horas	0%
Total	150 horas	-

Bibliografía básica

Recuerda que la bibliografía básica es imprescindible para el estudio de la asignatura. Cuando se indica que no está disponible en el aula virtual, tendrás que obtenerla por otros medios: librería UNIR, biblioteca...

Los textos necesarios para el estudio de la asignatura han sido elaborados por UNIR y están disponibles en formato digital para consulta, descarga e impresión en el aula virtual.

Bibliografía complementaria

• Alvarado, M. yGarcía, C. (2016). Cálculo integral en competencias. Distrito Federal: Grupo Editorial Patria.
• Apostol, T. M. (1999). Calculus, volumen I. Barcelona: Editorial Reverté.
• Bobadilla, G. y Labarca, R. (2014). Cálculo en una variable. Santiago de Chile: Editorial USACH.
• Casasayas, J. y Cascante, C. (1990). Problemas de análisis matemático de una variable real. Barcelona: Edunsa.
• Chicharro, F. I., Cordero, A., Martínez, E. yTorregrosa, J. R. (2019). Problemas de cálculo en una variable. Valencia: Editorial Universitat Politècnica de València.
• García, A., García, F., López, A. y Villa, A. de la. (2011). Cálculo I: teoría y problemas de análisis matemático en una variable. Madrid: Clagsa.
• Mesa, F., Bravo, J. E. y González, J. R. (2012). Cálculo integral en una variable. Bogotá: ECOE Ediciones.
• Rogawski, J. (2012). Cálculo: una variable. Barcelona: Editorial Reverté.
• Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable: transcendentes tempranas. Santa Fe (México): Cengage Learning.
• Velásquez, W. (2014). Cálculo integral: la integral indefinida y métodos de integración. Santa Marta (Colombia): Editorial de la Universidad del Magdalena.

El sistema de calificación se basa en la siguiente escala numérica:

0 - 4, 9	Suspenso	(SS)
5,0 - 6,9	Aprobado	(AP)
7,0 - 8,9	Notable	(NT)
9,0 - 10	Sobresaliente	(SB)

La calificación se compone de dos partes principales:

El examen se realiza al final del cuatrimestre y es de carácter PRESENCIAL y OBLIGATORIO. Supone el 60% de la calificación final y para que la nota obtenida en este examen se sume a la nota final, es obligatorio APROBARLO.

La evaluación continua supone el 40% de la calificación final. Este 40% de la nota final se compone de las calificaciones obtenidas en las diferentes actividades formativas llevadas a cabo durante el cuatrimestre.

Ten en cuenta que la suma de las puntuaciones de las actividades de la evaluación continua permite que realices las que prefieras hasta conseguir el máximo puntuable mencionado. En la programación semanal de la asignatura, se detalla la calificación máxima de cada actividad o evento concreto puntuables.

Sistema de evaluación	Ponderación min - max
Participación del estudiante	0% - 10%
Trabajos, proyectos y/o casos	10% - 20%
Prácticas de laboratorio virtual	20% - 30%
Test de evaluación	0% - 10%
Examen final	60% - 60%

María Crespo Moya

Formación académica:En 2016 completé un doctorado Europeo en Investigación Matemática por la Universidad Complutense de Madrid con mención Cum Laude. La tesis se denomina "Mathematical Modeling and Optimization of Bioreactors and Liquid Crystals" y trata matemáticamente problemas relacionados con la descontaminación de agua y el funcionamiento de los cristales líquidos. En 2017 obtuve la acreditación como Ayudante Doctor por la Agencia Nacional de Evaluación de la Calidad y Acreditación (ANECA).

Experiencia: Doctora en Investigación matemática por la Universidad Complutense de Madrid, con experiencia Post-Doctoral en el instituto INRA de Montpellier y dos años como Ayudante Doctor en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de la Universidad Politécnica de Madrid. He impartido asignaturas de matemáticas (algebra, cálculo y ecuaciones diferenciales) en un total de nueve grados (de Matemáticas e Ingeniería) de cuatro universidades distintas.

Líneas de investigación: Actualmente colaboro con los grupos de investigación MOMAT (https://www.ucm.es/momat/) y UMR MISTEA (https://www6.montpellier.inrae.fr/mistea) y estoy interesada en la modelización de procesos industriales mediante ecuaciones diferenciales ordinarias y/o en derivadas parciales, su simulación numérica y la optimización de parámetros del proceso. He participado en 5 proyectos de investigación y publicado 9 artículos de investigación en revistas internacionales (6 indexados en JCR).

Obviamente, al tratarse de formación online puedes organizar tu tiempo de estudio como desees, siempre y cuando vayas cumpliendo las fechas de entrega de actividades, trabajos y exámenes. Nosotros, para ayudarte, te proponemos los siguientes pasos:

1. Desde el Campus virtual podrás acceder al aula virtual de cada asignatura en la que estés matriculado y, además, al aula virtual del Curso de introducción al campus virtual. Aquí podrás consultar la documentación disponible sobre cómo se utilizan las herramientas del aula virtual y sobre cómo se organiza una asignatura en la UNIR y también podrás organizar tu plan de trabajo con tu tutor personal.
2. Observa la programación semanal. Allí te indicamos qué parte del temario debes trabajar cada semana.
3. Ya sabes qué trabajo tienes que hacer durante la semana. Accede ahora a la sección Temas del aula virtual. Allí encontrarás el material teórico y práctico del tema correspondiente a esa semana.
4. Comienza con la lectura de las Ideas clave del tema. Este resumen te ayudará a hacerte una idea del contenido más importante del tema y de cuáles son los aspectos fundamentales en los que te tendrás que fijar al estudiar el material básico. Consulta, además, las secciones del tema que contienen material complementario.
5. Dedica tiempo al trabajo práctico (sección Actividades y Test). En la programación semanal te detallamos cuáles son las actividades correspondientes a cada semana y qué calificación máxima puedes obtener con cada una de ellas.
6. Te recomendamos que participes en los eventos del curso (clases en directo, foros de debate…). Para conocer la fecha concreta de celebración de los eventos debes consultar las herramientas de comunicación del aula vitual. Tu profesor y tu tutor personal te informarán de las novedades de la asignatura.

En el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual encontrarás siempre disponible la documentación donde te explicamos cómo se estructuran los temas y qué podrás encontrar en cada una de sus secciones.

Recuerda que en el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual puedes consultar el funcionamiento de las distintas herramientas del aula virtual: Correo, Foro, Clases en directo, Envío de actividades, etc.