Presentación

Álgebra Lineal y Multilineal es una de las asignaturas de la materia Álgebra y Geometría de 30 créditos. Además de la propia asignatura de Álgebra Lineal y Multilineal, esta materia está compuesta por las asignaturas Álgebra y Matemática Discreta, Geometría Afín y Euclídea, Estructuras Algebraicas y Teoría de Galois (las cinco asignaturas son de 6 créditos). Se imparte en el segundo cuatrimestre del primer curso.

Para elaborar la distribución de temas de la asignatura de Álgebra Lineal y Multilineal, se debe tener en cuenta que los alumnos ya han cursado la asignatura de Álgebra y Matemática Discreta. Además, será necesario tener en cuenta la repercusión que la asignatura pueda tener en las asignaturas siguientes, sobre todo, en la asignatura de Geometría Afín y Euclídea, pues en ella se usarán muchos de los conceptos y resultados de la asignatura de Álgebra Lineal y Multilineal.

Competencias básicas

• CB1: Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
• CB2: Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
• CB3: Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
• CB4: Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
• CB5: Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.

Competencias generales

• CG1: Ser capaz de aplicar los conocimientos matemáticos de forma rigurosa por medio de la elaboración y defensa de argumentos y en la resolución de problemas.
• CG3: Capacidad de reunir e interpretar datos relevantes, dentro del área de las matemáticas y la computación, para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.

Competencias específicas

• CE1: Capacidad de asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y utilizarlo en otros contextos.
• CE5: Capacidad de seleccionar las propiedades estructurales de objetos matemáticos distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales, y poder probarlas con demostraciones rigurosas o refutarlas con contraejemplos.
• CE15:Capacidad de comprender y dominar los conceptos básicos de matemática discreta, lógica y complejidad computacional, y su aplicación para la resolución de problemas aplicados a la matemática computacional (competencia que, quizás, sea más apropiada considerar en Matemática Discreta)

Competencias transversales

• CT1: Aplicar las nuevas tecnologías como herramientas para el intercambio comunicacional en el desarrollo de procesos de indagación y de aprendizaje.
• CT2: Desarrollar habilidades de comunicación, para redactar informes y documentos, o realizar atractivas y eficaces presentaciones de los mismos.

Tema 1. Espacios vectoriales sobre el cuerpo de los números complejos

• Introducción y objetivos
• Concepto de espacio vectorial
• Bases y dimensión
• Sistemas de coordenadas y cambio de base
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 2. Diagonalización de endomorfismos

• Introducción y objetivos
• Valores y vectores propios de un endomorfismo
• Aplicaciones diagonalizables
• Teorema de Cayley-Hamilton
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 3. Forma canónica de Jordan (aplicaciones nilpotentes)

• Introducción y objetivos
• Transformaciones lineales nilpotentes
• Forma canónica de Jordan de una matriz nilpotente
• Unicidad de la descomposición de Jordan
• Algoritmo para la descomposición de Jordan
• Ejemplo de uso con Matlab
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 4. Forma canónica de Jordan (caso general)

• Introducción y objetivos
• Forma canónica de Jordan
• Algoritmo para la descomposición de Jordan
• Aplicaciones matriciales
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 5. Espacios vectoriales con producto escalar

• Introducción y objetivos
• Concepto de producto escalar
• Ortogonalidad y bases ortogonales
• Procedimiento de ortonormalización de Gram-Schmidt
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 6. Isometrías y transformaciones ortogonales

• Introducción y objetivos
• Endomorfismos entre espacios vectoriales euclídeos
• Adjunta de una transformación lineal
• Operadores hermitianos
• Operadores unitarios
• Clasificación de los operadores ortogonales
• Operadores ortogonales en R2
• Operadores ortogonales en R3
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 7. Proyección ortogonal y mínimos cuadrados

• Introducción y objetivos
• Factorización QR
• Proyección ortogonal y problemas de mínimos cuadrados
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 8. Resolución de sistemas lineales sobredimensionados y aplicaciones

• Introducción y objetivos
• Solución mínimo cuadrática para sistemas incompatibles
• Sistema de ecuaciones normales
• Ajuste de funciones empleando mínimos cuadrados
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 9. Formas cuadráticas reales

• Introducción y objetivos
• Formas bilineales y formas cuadráticas
• Matriz asociada a una forma cuadrática
• Bases ortogonales asociadas a formas cuadráticas
• Obtención de una base ortogonal por diagonalización simétrica
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 10. Descomposición en valores singulares: SVD. Cálculo de inversas generalizadas y aplicaciones

• Introducción y objetivos
• Descomposición en valores singulares: SVD
• Cálculo de inversas generalizadas
• Algunas aplicaciones
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Las actividades formativas de la asignatura se han elaborado con el objetivo de adaptar el proceso de aprendizaje a las diferentes capacidades, necesidades e intereses de los alumnos.

Las actividades formativas de esta asignatura son las siguientes:

• Trabajo. Se trata de actividades de diferentes tipos: reflexión, análisis de casos, prácticas, etc.
• Laboratorio virtual: Se trata de actividades que incluyen la preparación e impartición de sesiones prácticas por parte del docente para que, después, cada alumno realice los ejercicios propuestos empleando herramientas informáticas.
• Casos prácticos. Situarán al alumno ante situaciones reales que tendrán que analizar y tras ello tomar decisiones, evaluar consecuencias y alternativas.
• Participación en eventos. Son eventos programados todas las semanas del cuatrimestre: clases en directo, foros de debate.

Descargar programación

Estas actividades formativas prácticas se completan, por supuesto, con estas otras:

• Estudio personal
• Tutorías. Las tutorías se pueden articular a través de diversas herramientas y medios. Durante el desarrollo de la asignatura, el profesor programa tutorías en días concretos para la resolución de dudas de índole estrictamente académico a través de las denominadas “sesiones de consultas”. Como complemento de estas sesiones se dispone también del foro “Pregúntale al profesor de la asignatura” a través del cual se articulan algunas preguntas de alumnos y las correspondientes respuestas en el que se tratan aspectos generales de la asignatura. Por la propia naturaleza de los medios de comunicación empleados, no existen horarios a los que deba ajustarse el alumno.
• Examen final presencial

Las horas de dedicación a cada actividad se detallan en la siguiente tabla:

ACTIVIDADES FORMATIVAS	HORAS POR ASIGNATURA	% PRESENCIAL
Sesiones presenciales virtuales	15 horas	100%
Recursos didácticos audiovisuales	6 horas	0
Estudio del material básico	52 horas	0
Lectura del material complementario	25 horas	0
Trabajos, casos prácticos y test de evaluación	17 horas	0
Sesiones prácticas de laboratorio virtual	12 horas	16,7%
Tutorías	16 horas	30%
Trabajo colaborativo	7 horas	0
Total	150 horas	-

Bibliografía complementaria

• Aroca Hernández Ros, J. M.; Fernández Bermejo, M. J.: Algebra Lineal y Geometría. Secretariado de Publicaciones, Universidad de Valladolid. 1988.
• Artin, E., Álgebra geométrica. Ed. Limusa, México, 1992.
• Castellet, M.; Llerena, I., Álgebra lineal y geometría Ed. Reverté, Barcelona, 1991.
• De Burgos, J., Álgebra lineal y geometría cartesiana. Ed. MacGraw-Hill, Madrid, 1999.
• Godement, R., Álgebra. Ed. Tecnos, Madrid, 1967.
• Gruenberg, K.W.; Weir, A.J., Linear Geometry. Springer-Verlag, Berlin, 1977
• Hernandez, E., Álgebra y geometría. Ed. Addison Wesley, Madrid, 1994
• Kostrikin, A. I.; Manin, Yu. I., Linear algebra and geometry. Ed. Gordon and Breach, N. York, 1981.
• Lay, D. C., Lay, S. R. y McDonald, J. J. (2016). Álgebra lineal y sus aplicaciones (5a. ed.). Naucalpan de Juárez: Pearson Educación.
• Pérez, H. (2018). Álgebra lineal: Ejercicios de práctica. México: Grupo Editorial Patria.

El sistema de calificación se basa en la siguiente escala numérica:

0 - 4, 9	Suspenso	(SS)
5,0 - 6,9	Aprobado	(AP)
7,0 - 8,9	Notable	(NT)
9,0 - 10	Sobresaliente	(SB)

La calificación se compone de dos partes principales:

El examen se realiza al final del cuatrimestre y es de carácter PRESENCIAL y OBLIGATORIO. Supone el 60% de la calificación final y para que la nota obtenida en este examen se sume a la nota final, es obligatorio APROBARLO.

La evaluación continua supone el 40% de la calificación final. Este 40% de la nota final se compone de las calificaciones obtenidas en las diferentes actividades formativas llevadas a cabo durante el cuatrimestre.

Ten en cuenta que la suma de las puntuaciones de las actividades de la evaluación continua permite que realices las que prefieras hasta conseguir el máximo puntuable mencionado en la programación semanal. En ella se detalla la calificación máxima de cada actividad o evento concreto puntuables.

Sistema de evaluación	Ponderación min - max
Participación del estudiante (sesiones, foros, tutorías)	0% - 10%
Prácticas de laboratorio virtual	20% -30%
Trabajos, proyectos, laboratorios/talleres y casos	10% - 20%
Test de evaluación	0% - 10%
Examen final presencial	60% - 60%

Obviamente, al tratarse de formación online puedes organizar tu tiempo de estudio como desees, siempre y cuando vayas cumpliendo las fechas de entrega de actividades, trabajos y exámenes. Nosotros, para ayudarte, te proponemos los siguientes pasos:

1. Desde el Campus virtual podrás acceder al aula virtual de cada asignatura en la que estés matriculado y, además, al aula virtual del Curso de introducción al campus virtual. Aquí podrás consultar la documentación disponible sobre cómo se utilizan las herramientas del aula virtual y sobre cómo se organiza una asignatura en la UNIR y también podrás organizar tu plan de trabajo con tu tutor personal.
2. Observa la programación semanal. Allí te indicamos qué parte del temario debes trabajar cada semana.
3. Ya sabes qué trabajo tienes que hacer durante la semana. Accede ahora a la sección Temas del aula virtual. Allí encontrarás el material teórico y práctico del tema correspondiente a esa semana.
4. Comienza con la lectura de las Ideas clave del tema. Este resumen te ayudará a hacerte una idea del contenido más importante del tema y de cuáles son los aspectos fundamentales en los que te tendrás que fijar al estudiar el material básico. Consulta, además, las secciones del tema que contienen material complementario.
5. Dedica tiempo al trabajo práctico (sección Actividades y Test). En la programación semanal te detallamos cuáles son las actividades correspondientes a cada semana y qué calificación máxima puedes obtener con cada una de ellas.
6. Te recomendamos que participes en los eventos del curso (clases en directo, foros de debate…). Para conocer la fecha concreta de celebración de los eventos debes consultar las herramientas de comunicación del aula vitual. Tu profesor y tu tutor personal te informarán de las novedades de la asignatura.

En el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual encontrarás siempre disponible la documentación donde te explicamos cómo se estructuran los temas y qué podrás encontrar en cada una de sus secciones.

Recuerda que en el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual puedes consultar el funcionamiento de las distintas herramientas del aula virtual: Correo, Foro, Sesiones presenciales virtuales, Envío de actividades, etc.