Presentación

La matemática se manifiesta en cualquier ámbito o acontecimiento de nuestra sociedad. Esta permite comprender e interpretar nuestro entorno, donde cualquier situación o fenómeno de cambio puede ser modelizado matemáticamente por medio de una función. La matemática constituye, por tanto, una disciplina esencial para entender el mundo que nos rodea.

El objetivo general de la materia de Topología General es estudiar los conceptos, métodos y propiedades básicas de los espacios topológicos y conocer algunos de los resultados matemáticos más importantes en el contexto topológico. Con este fin, la mayor parte de los contenidos están dedicados a introducir los conceptos topológicos básicos partiendo de la topología de los espacios euclidianos para, posteriormente, dar un salto de abstracción y abordar dichos conceptos desde un punto de vista más general. A su vez, se busca que los estudiantes sean capaces de entender conceptos topológicos muy importantes como son los espacios cociente, los axiomas de numerabilidad y separabilidad, etc. Para ello, a lo largo del curso se proporcionan demostraciones con dificultad gradual, partiendo de las más sencillas en espacios euclidianos hasta las más complejas y abstractas para espacios topológicos generales.

Topología general es una asignatura base para el desarrollo matemático del alumno en posteriores asignaturas del Grado como, por ejemplo, Topología Algebraica. Proporciona una formación básica en cuestiones relacionadas con la topología de gran importancia, no solamente en la materia de Topología Algebraica, sino que serán una constante en todas las materias relacionadas con el análisis matemático.

Competencias básicas

• CB1: Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
• CB2: Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
• CB3: Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
• CB4:Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
• CB5: Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.

Competencias generales

• CG1:Ser capaz de aplicar los conocimientos matemáticos de forma rigurosa por medio de la elaboración y defensa de argumentos y en la resolución de problemas.

Competencias específicas

• CE1: Capacidad de asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y utilizarlo en otros contextos.
• CE5: Capacidad de seleccionar las propiedades estructurales de objetos matemáticos distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales, y poder probarlas con demostraciones rigurosas o refutarlas con contraejemplos.

Competencias transversales

• CT1: Aplicar las nuevas tecnologías como herramientas para el intercambio comunicacional en el desarrollo de procesos de indagación y de aprendizaje.
• CT2: Desarrollar habilidades de comunicación, para redactar informes y documentos, o realizar atractivas y eficaces presentaciones de los mismos.

Tema 1. Cuestiones previas

• Introducción y objetivos
• Producto cartesiano
• Relaciones de equivalencia y particiones
• Espacio normado
• Espacio métrico
• Nociones de espacio métrico
• Nociones de conjuntos
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 2. Espacios topológicos

• Introducción y objetivos
• Definición de espacio topológico. Ejemplos
• Topología en espacios métricos
• Entornos
• Posiciones relativas entre puntos y conjuntos
• Bases en espacios topológios
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 3. Funciones continuas

• Introducción y objetivos
• Continuidad
• Aplicaciones abiertas y cerradas
• Homeomorfismos
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 4. Subespacios y espacio producto (finito)

• Introducción y objetivos
• Topología Relativa
• Continuidad y subespacios
• Topología producto
• Continuidad y topología producto
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 5. Espacios cociente

• Introducción y objetivos
• Topología cociente
• Aplicaciones continuas y espacio cociente
• Subespacios y espacios cociente
• Colapsos
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 6. Propiedades de separación

• Introducción y objetivos
• Propiedad de separación de Hausdorff
• Propiedad de separación T1
• Propiedad de separación T0
• Espacios regulares (T3) y normales (T4)
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 7. Axiomas de numerabilidad 

• Introducción y objetivos
• Espacios primero numerables
• Espacios segundo numerables
• Espacios topológicos separables y espacios topológicos Lindelöf
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 8. Compacidad I

• Introducción y objetivos
• Espacios compactos
• Espacios compactos Hausdorff
• Compacidad en Rn con la métrica usual
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 9. Compacidad II

• Introducción y objetivos
• Compacidad local
• Compactificación de Alexandroff
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 10. Conexión

• Introducción y objetivos
• Espacios conexos
• Conexión y subespacios
• Conexidad por caminos
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Las actividades formativas de la asignatura se han elaborado con el objetivo de adaptar el proceso de aprendizaje a las diferentes capacidades, necesidades e intereses de los alumnos.

Las actividades formativas de esta asignatura son las siguientes:

• Trabajo. Se trata de actividades de diferentes tipos: reflexión, análisis de casos, prácticas, etc.
• Casos prácticos. Situarán al alumno ante situaciones reales que tendrán que analizar y tras ello tomar decisiones, evaluar consecuencias y alternativas.
• Participación en eventos. Son eventos programados todas las semanas del cuatrimestre: sesiones presenciales virtuales, foros de debate.

Descargar programación

Estas actividades formativas prácticas se completan, por supuesto, con estas otras:

• Estudio personal
• Tutorías. Las tutorías se pueden articular a través de diversas herramientas y medios. Durante el desarrollo de la asignatura, el profesor programa tutorías en días concretos para la resolución de dudas de índole estrictamente académico a través de las denominadas “sesiones de consultas”. Como complemento de estas sesiones se dispone también del foro “Pregúntale al profesor de la asignatura” a través del cual se articulan algunas preguntas de alumnos y las correspondientes respuestas en el que se tratan aspectos generales de la asignatura. Por la propia naturaleza de los medios de comunicación empleados, no existen horarios a los que deba ajustarse el alumno.
• Examen final presencial

Las horas de dedicación a cada actividad se detallan en la siguiente tabla:

ACTIVIDADES FORMATIVAS	HORAS POR ASIGNATURA	% PRESENCIAL
Sesiones presenciales virtuales	15 horas	100%
Recursos didácticos audiovisuales	6 horas	0
Estudio del material básico	52 horas	0
Lectura del material complementario	25 horas	0
Trabajos, casos prácticos, test de evaluación	17 horas	0
Sesiones prácticas de laboratorio virtual	12 horas	100%
Tutorías	16 horas	0
Trabajo colaborativo	7 horas	0
Total	150 horas	-

Bibliografía básica

Recuerda que la bibliografía básica es imprescindible para el estudio de la asignatura. Cuando se indica que no está disponible en el aula virtual, tendrás que obtenerla por otros medios: librería UNIR, biblioteca...

Los textos necesarios para el estudio de la asignatura han sido elaborados por UNIR y están disponibles en formato digital para consulta, descarga e impresión en el aula virtual.

Bibliografía complementaria

• Armstrong, M. (2013). Basic Topology (Undergraduate Texts in Mathematics). Nueva York: Springer.
• Bourbaki, N. (1966). Elements of mathematics. General topology. Part 1.Paris: Hermann.
• Dugundji, J. (1966). Topology. (Allyn and Bacon series in advanced mathematics). Boston: Allyn and Bacon.
• Fernández, V. (2017). Problemas de Topología y estudio de las propiedades de espacios topológicos. Madrid: Sanz y Torres.
• Fernández , V. (2018). Ampliación de Topología. Ejercicios de Topología Algebraica. Madrid: Sanz y Torres.
• Flores, J. L., Herrera , J. y Turiel, F. J. (2018). Introducción a la topología general. España: UMA Editorial.
• Krantz, S. (2009). Essentials of Topology with Applications. (Textbooks in Mathematics). Florida: CRC Press.
• Munkres, J. (2000). Topology. (Featured Titles for Topology Series). Prentice Hall, Incorporated.
• Sutherland, W. and Sutherland, W. (1975). Introduction to Metric and Topological Spaces. Londres: Open university set book. Clarendon Press.
• Willard, S. (2004). General Topology. (Addison-Wesley series in mathematics). Nueva York: Dover Publications.

El sistema de calificación se basa en la siguiente escala numérica:

0 - 4, 9	Suspenso	(SS)
5,0 - 6,9	Aprobado	(AP)
7,0 - 8,9	Notable	(NT)
9,0 - 10	Sobresaliente	(SB)

La calificación se compone de dos partes principales:

El examen se realiza al final del cuatrimestre y es de carácter PRESENCIAL y OBLIGATORIO. Supone el 60% de la calificación final y para que la nota obtenida en este examen se sume a la nota final, es obligatorio APROBARLO.

La evaluación continua supone el 40% de la calificación final. Este 40% de la nota final se compone de las calificaciones obtenidas en las diferentes actividades formativas llevadas a cabo durante el cuatrimestre.

Ten en cuenta que la suma de las puntuaciones de las actividades de la evaluación continua permite que realices las que prefieras hasta conseguir el máximo puntuable mencionado. En la programación semanal de la asignatura, se detalla la calificación máxima de cada actividad o evento concreto puntuables.

Sistema de evaluación	Ponderación min - max
Participación del estudiante (sesiones, foros, tutorías)	0% - 10%
Trabajos, proyectos, laboratorios/talleres y casos	10% - 20%
Prácticas de laboratorio virtual	20% - 30%
Test de evaluación	0% - 10%
Examen final presencial	60% - 60%

Marc Jorba Cuscó

Formación académica: Es graduado en Matemáticas (Universitat Autònoma de Barcelona, 2012), tiene un Máster en Matemáticas avanzadas (Universitat de Barcelona, 2013) así como un doctorado en Matemáticas (Universitat de Barcelona, 2019).

Experiencia: Ha trabajado como docente en la Universitat de Barcelona desde 2013 a 2018. Primero con una beca de apoyo a la docencia cuando cursaba estudios de Máster. Luego, dando clases durante el desarrollo de su tesis doctoral. En particular, ha impartido asignaturas de programación, métodos numéricos y ecuaciones diferenciales. En 2019 trabajó en la Universitat Pompeu Fabra impartiendo un curso de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Colabora con UNIR desde 2019 tutorizando TFMs.

Líneas de investigación: Su área de investigación son los sistemas dinámicos (SD) aplicados a la astrodinámica. Ha trabajado, sobretodo, en el estudio de la dinámica natural del sistema Tierra-Luna y su sensibilidad a las perturbaciones solares (gravedad y presión de radiación solar). También ha trabajado en problemas de recolisión de particulas en un átomo y (en un ámbito teórico) en la fractalización de curvas invariantes. Todo esto en el grupo de SD de la UB. Tambiém ha estudiado el sistema Marte-Phobos el CNES.

Obviamente, al tratarse de formación online puedes organizar tu tiempo de estudio como desees, siempre y cuando vayas cumpliendo las fechas de entrega de actividades, trabajos y exámenes. Nosotros, para ayudarte, te proponemos los siguientes pasos:

1. Desde el Campus virtual podrás acceder al aula virtual de cada asignatura en la que estés matriculado y, además, al aula virtual del Curso de introducción al campus virtual. Aquí podrás consultar la documentación disponible sobre cómo se utilizan las herramientas del aula virtual y sobre cómo se organiza una asignatura en la UNIR y también podrás organizar tu plan de trabajo con tu tutor personal.
2. Observa la programación semanal. Allí te indicamos qué parte del temario debes trabajar cada semana.
3. Ya sabes qué trabajo tienes que hacer durante la semana. Accede ahora a la sección Temas del aula virtual. Allí encontrarás el material teórico y práctico del tema correspondiente a esa semana.
4. Comienza con la lectura de las Ideas clave del tema. Este resumen te ayudará a hacerte una idea del contenido más importante del tema y de cuáles son los aspectos fundamentales en los que te tendrás que fijar al estudiar el material básico. Consulta, además, las secciones del tema que contienen material complementario.
5. Dedica tiempo al trabajo práctico (sección Actividades y Test). En la programación semanal te detallamos cuáles son las actividades correspondientes a cada semana y qué calificación máxima puedes obtener con cada una de ellas.
6. Te recomendamos que participes en los eventos del curso (sesiones presenciales virtuales, foros de debate…). Para conocer la fecha concreta de celebración de los eventos debes consultar las herramientas de comunicación del aula vitual. Tu profesor y tu tutor personal te informarán de las novedades de la asignatura.

En el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual encontrarás siempre disponible la documentación donde te explicamos cómo se estructuran los temas y qué podrás encontrar en cada una de sus secciones.

Recuerda que en el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual puedes consultar el funcionamiento de las distintas herramientas del aula virtual: Correo, Foro, Sesiones presenciales virtuales, Envío de actividades, etc.