Presentación

Uno de los objetivos que se persigue en el campo de la topología es encontrar invariantes (topológicos) para poder clasificar los espacios topológicos, principalmente, según la relación de equivalencia “ser homeomorfos”. En particular, la topología algebraica consiste en buscar invariantes usando herramientas algebraicas para realizar dicha clasificación. Estas herramientas también permiten definir otro tipo de clasificación: «tener el mismo tipo de homotopía».

En este curso, estudiaremos las dos fuentes principales de la topología algebraica para encontrar invariantes topológicos: los grupos fundamentales (y sus extensiones naturales, los grupos de homotopía, englobados dentro del área conocida como Teoría de Homotopía), y los grupos de homología (donde consideraremos tanto la homología simplicial como la singular, así como algunos tipos de cohomología).

El elemento principal dentro de la Teoría de Homotopía es el grupo fundamental, el cual es un grupo (algebraico) que «mide» el número de «lazos distintos» que se pueden formar dentro de un espacio topológico. Una herramienta fundamental que usaremos para calcular el grupo fundamental de un espacio topólogico es el teorema de Van Kampen, el cual permite descomponer espacios topológicos en otros más simples cuyo grupos fundamentales son ya conocidos. Finalmente, estudiaremos las generalizaciones de los grupos fundamentales a dimensiones mayores: los grupos de homotopía.

Estos grupos de homotopía, sin embargo, tienen un problema: no es fácil calcularlos. Por ello, a la hora de clasificar espacios topológicos de dimensión superior se usa a veces lo que denominamos grupos de homología. Los grupos de homología tienen una definición más abstracta que los grupos de homotopía, pero podemos decir, de manera informal, que los grupos de homología miden el número y la dimensión de agujeros de un espacio topólogico. Durante este curso estudiaremos dos tipos de homologías: la simplicial (definida para complejos simpliciales) y la singular (una generalización de la anterior). Asimismo, estudiaremos también un refinamiento de la homología singular, (la cohomología) y grupos de homologías definidos sobre estructuras algebraicas más generales, (pertenecientes a la rama conocida como álgebra homológica). Terminaremos el curso con un sorprendente resultado básico de la homología y la cohomología, formulado muchos años antes del desarrollo de estas dos ramas de la topología, la dualidad de Poincaré.

Competencias básicas

• CB1: Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio. .
• CB2: Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
• CB3: Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
• CB4:Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
• CB5:Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.

Competencias generales

• CG1: Ser capaz de aplicar los conocimientos matemáticos de forma rigurosa por medio de la elaboración y defensa de argumentos y en la resolución de problemas.

Competencias específicas

• CE1: Capacidad de asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y utilizarlo en otros contextos.
• CE5: Capacidad de seleccionar las propiedades estructurales de objetos matemáticos distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales, y poder probarlas con demostraciones rigurosas o refutarlas con contraejemplos.

Competencias transversales

• CT1:Aplicar las nuevas tecnologías como herramientas para el intercambio comunicacional en el desarrollo de procesos de indagación y de aprendizaje.
• CT2:Desarrollar habilidades de comunicación, para redactar informes y documentos, o realizar atractivas y eficaces presentaciones de los mismos.

Tema 1. Homotopía

• Introducción y objetivos
  
• Complejos celulares
  
• Homotopía y tipos de homotopía
  
• Referencias bibliográficas
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 2. Grupo fundamental

• Introducción y objetivos
  
• Caminos
  
• Definición de grupo fundamental
  
• Cálculo de grupos fundamentales
  
• Homomorfismos inducidos
  
• Referencias bibliográficas
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 3. Teorema de Van Kampen

• Introducción y objetivos
  
• Producto libre de grupos
  
• Teorema de Van Kampen
  
• Referencias bibliográficas
  
• Cuaderno de ejercicios
  

Tema 4. Espacios de recubrimiento

• Introducción y objetivos
  
• Definición
  
• Ejemplos
  
• Clasificación
  
• Referencias bibliográficas
  
• Cuaderno de ejercicios
  

Tema 5. Grupos de homotopía

• Introducción y objetivos
  
• Definición
  
• Ejemplos
  
• Teorema de Whitehead
  
• Referencias bibliográficas
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 6. Homología simplicial

• Introducción y objetivos
  
• Complejos simpliciales
  
• Grupos de homología
  
• Referencias bibliográficas
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 7. Homología relativa

• Introducción y objetivos
  
• Definición
  
• Secuencias exactas de homología
  
• Secuencias de Mayer-Vietoris
  
• Referencias bibliográficas
  
• Cuaderno de ejercicios
  

Tema 8. Homología singular

• Introducción y objetivos
  
• Grupos de homología singular
  
• Escisiones
  
• Secuencias de Mayer-Vietoris
  
• Equivalencia entre las homologías simplicial y singular
  
• Referencias bibliográficas
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 9. Cohomología

• Introducción y objetivos
  
• El funtor Hom
  
• Cohomología simplicial
  
• Cohomología singular
  
• Referencias bibliográficas
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 9. Dualidad en variedades topológicas

• Introducción y objetivos
  
• Adjunciones de complejos simpliciales
  
• Orientación y homología
  
• Teoremas de dualidad
  
• Referencias bibliográficas
  
• Cuaderno de ejercicios

Las actividades formativas de la asignatura se han elaborado con el objetivo de adaptar el proceso de aprendizaje a las diferentes capacidades, necesidades e intereses de los alumnos.

Las actividades formativas de esta asignatura son las siguientes:

• Trabajo. Se trata de actividades de diferentes tipos: reflexión, análisis de casos, prácticas, etc.
• Comentario de lecturas. Es un tipo de actividad muy concreto que consiste en el análisis de textos de artículos de autores expertos en diferentes temas de la asignatura.
• Casos prácticos. Situarán al alumno ante situaciones reales que tendrán que analizar y tras ello tomar decisiones, evaluar consecuencias y alternativas.
• Participación en eventos. Son eventos programados todas las semanas del cuatrimestre: sesiones presenciales virtuales, foros de debate.

Descargar programación

Estas actividades formativas prácticas se completan, por supuesto, con estas otras:

• Estudio personal
• Tutorías. Las tutorías se pueden articular a través de diversas herramientas y medios. Durante el desarrollo de la asignatura, el profesor programa tutorías en días concretos para la resolución de dudas de índole estrictamente académico a través de las denominadas «sesiones de consultas». Como complemento de estas sesiones se dispone también del foro «Pregúntale al profesor de la asignatura» a través del cual se articulan algunas preguntas de alumnos y las correspondientes respuestas en el que se tratan aspectos generales de la asignatura. Por la propia naturaleza de los medios de comunicación empleados, no existen horarios a los que deba ajustarse el alumno.
• Examen final presencial

Las horas de dedicación a cada actividad se detallan en la siguiente tabla:

ACTIVIDADES FORMATIVAS	HORAS POR ASIGNATURA	% PRESENCIAL
Sesiones presenciales virtuales	15 horas	100%
Recursos didácticos audiovisuales	6 horas	0
Estudio del material básico	52 horas	0
Lectura del material complementario	25 horas	0
Trabajos, casos prácticos y test de evaluación	17 horas	0
Sesiones prácticas de laboratorio virtual	12 horas	16,7
Tutorías	16 horas	30
Trabajo colaborativo	7 horas	0
Total	150 horas	-

Bibliografía básica

Los textos necesarios para el estudio de la asignatura han sido elaborados por UNIR y están disponibles en formato digital para consulta, descarga e impresión en el aula virtual.

Bibliografía complementaria

• Armstrong, M. A. (1983). Basic Topology. New York: Springer-Verlag.
• François, K. An introduction to algebraic topology and covering spaces. Spring school in Pristina, Kosovo.
• Hatcher, A. (2002). Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press.
• Hilton, P. J. (1953). An Introduction to Homotopy Theory. Cambridge: Cambridge University Press.
• Hilton, P. J. y Stammbach U. (1997, 1ª edición 1970). A Course in Homological Algebra. New York: Springer-Verlag GTM 4.
• Kosniowski, C. (1980). A first course in algebraic topology. Cambridge University Press.
• Machi, A. (2012). Groups: An Introduction to Ideas and Methods of the Theory of Groups. Springer Science & Business Media.
• Massey, W. S. (1977). Algebraic Topology: An Introduction. New York: Springer-Verlag GTM 56, originalmente publicado por Harcourt, Brace & World Inc. en 1967.
• Massey, W. S. (1991). A Basic Course in Algebraic Topology. New York: Springer-Verlag GTM 127.
• Maunder, C. R. F. (1996). Algebraic topology. Courier Corporation.
• Maxim, L. G. (2019) Intersection Homology & Perverse Sheaves with Applications to Singularities, Graduate Texts in Mathematics, Springer.
• Murasugi, K., & Kurpita, B. (1996). Knot theory and its applications (1-341). Boston: Birkhäuser.
• Munkres, J. R.  (1984). Elements of Algebraic Topology. Menlo Park: Addison-Wesley Publishing Company.
• Munkres, J. R. (2018). Elements of algebraic topology. CRC press.
• Rotman, J. J. (2013). An introduction to algebraic topology (Vol. 119). Springer Science & Business Media.
• Whitehead, G. (1978). Elements of Homotopy Theory. New York: Springer-Verlag GTM 62.

El sistema de calificación se basa en la siguiente escala numérica:

0 - 4, 9	Suspenso	(SS)
5,0 - 6,9	Aprobado	(AP)
7,0 - 8,9	Notable	(NT)
9,0 - 10	Sobresaliente	(SB)

La calificación se compone de dos partes principales:

El examen se realiza al final del cuatrimestre y es de carácter PRESENCIAL y OBLIGATORIO. Supone el 60% de la calificación final y para que la nota obtenida en este examen se sume a la nota final, es obligatorio APROBARLO.

La evaluación continua supone el 40% de la calificación final. Este 40% de la nota final se compone de las calificaciones obtenidas en las diferentes actividades formativas llevadas a cabo durante el cuatrimestre.

Sistema de evaluación	Ponderación min - max
Participación del estudiante (sesiones, foros)	0% - 10%
Trabajos, proyectos y/o casos	10% - 20%
Prácticas de laboratorio virtual	20% - 30%
Test de evaluación	0% - 10%
Examen final	60% - 60%

José Fabrizio Pineda Ramos

Formación académica: Máster en Formación del Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas (Universidad de La Laguna y Universidad de Las Palmas de Gran Canaria). Máster en Modelización e Investigación Matemática, Estadística y Computación (Universidad del País Vasco, Universidad de La Rioja, Universidad Pública de Navarra, Universidad de Oviedo, Universidad de La Laguna, Universidad de Zaragoza).

Experiencia: Ha sido profesor de Academia privada y profesor de Secundaria y Bachillerato para la Consejería de Educación de la Junta de Castilla y León. Además, es Profesor Contratado Laboral de Interinidad en la Universidad de La Laguna, concretamente en el Área de Álgebra adscrita al Departamento de Matemáticas, Estadística e Investigación Operativa.
Ha desarrollado su docencia impartiendo diversas asignaturas del Área de Álgebra en el Grado en Matemáticas y el Grado en Física en la ULL.

Líneas de investigación: Interesado en diversas área de la matemática, la que le ocupa actualmente es el la topología algebraica, concretamente el estudio de la complejidad topológica de espacios de configuraciones asociados a sistemas robóticos. No obstante, también está interesado en geometría algebraica y en aspectos topológicos de singularidades de curvas algebraicas.

Obviamente, al tratarse de formación online puedes organizar tu tiempo de estudio como desees, siempre y cuando vayas cumpliendo las fechas de entrega de actividades, trabajos y exámenes. Nosotros, para ayudarte, te proponemos los siguientes pasos:

1. Desde el Campus virtual podrás acceder al aula virtual de cada asignatura en la que estés matriculado y, además, al aula virtual del Curso de introducción al campus virtual. Aquí podrás consultar la documentación disponible sobre cómo se utilizan las herramientas del aula virtual y sobre cómo se organiza una asignatura en la UNIR y también podrás organizar tu plan de trabajo personal con tu profesor-tutor.
2. Observa la programación semanal. Allí te indicamos qué parte del temario debes trabajar cada semana.
3. Ya sabes qué trabajo tienes que hacer durante la semana. Accede ahora a la sección Temas del aula virtual. Allí encontrarás el material teórico y práctico del tema correspondiente a esa semana.
4. Comienza con la lectura de las Ideas clave del tema. Este resumen te ayudará a hacerte una idea del contenido más importante del tema y de cuáles son los aspectos fundamentales en los que te tendrás que fijar al estudiar el material básico. Consulta, además, las secciones del tema que contienen material complementario.
5. Dedica tiempo al trabajo práctico (sección Actividades y Test). En la programación semanal te detallamos cuáles son las actividades correspondientes a cada semana y qué calificación máxima puedes obtener con cada una de ellas.
6. Te recomendamos que participes en los eventos del curso (sesiones presenciales virtuales, foros de debate…). Para conocer la fecha concreta de celebración de los eventos debes consultar las herramientas de comunicación del aula vitual. Tu profesor y tu profesor-tutor te informarán de las novedades de la asignatura.

En el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual encontrarás siempre disponible la documentación donde te explicamos cómo se estructuran los temas y qué podrás encontrar en cada una de sus secciones.

Recuerda que en el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual puedes consultar el funcionamiento de las distintas herramientas del aula virtual: Correo, Foro, Sesiones presenciales virtuales, Envío de actividades, etc.