Presentación

Numerosas situaciones del mundo real se plantean desde la perspectiva matemática en términos de ecuaciones que dependen de las derivadas de una o varias funciones, expresando las relaciones que verifican entre ellas. En este sentido, la modelización de la evolución de una epidemia, las leyes de la mecánica, las leyes de enfriamiento, los problemas de mezclas, la desintegración de sustancias radiactivas, la determinación de edades por el método del carbono 14, los sistemas masa-resorte o los circuitos eléctricos son algunos de los ejemplos en los que es necesario utilizar una ecuación diferencial para obtener una solución.

Una ecuación diferencial es una relación en la que se pone de manifiesto la igualdad entre variables dependientes, funciones y las derivadas de las funciones. En función de las derivadas de la función incógnita que aparece en la igualdad, tendremos ecuaciones diferenciales de primer orden o de orden superior. Asimismo, podemos encontrarnos un conjunto de ecuaciones diferenciales de interdependencia, dando lugar a sistemas de ecuaciones diferenciales.

En este curso vamos a describir la teoría general de las ecuaciones diferenciales. Además, aprenderemos a resolver analíticamente este tipo de ecuaciones, siempre y cuando sea posible. Por otro lado, nos adentraremos en las soluciones numéricas para las situaciones en las que no dispongamos de métodos analíticos para obtener la solución exacta, utilizando el software Matlab.

Con esta perspectiva, conseguiremos tener una visión amplia tanto de esta técnica de modelar fenómenos reales, como de obtener una solución a los mismos.

Competencias básicas

• CB1: Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
• CB2: Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
• CB3: Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
• CB4: Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
• CB5: Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.

Competencias generales

• CG1: Ser capaz de aplicar los conocimientos matemáticos de forma rigurosa por medio de la elaboración y defensa de argumentos y en la resolución de problemas.
• CG2: Capacidad de obtener información y saber interpretarla utilizando el software matemático más adecuado en cada caso.

Competencias específicas

• CE1: Capacidad de asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y utilizarlo en otros contextos.
• CE4: Ser capaz de interpretar la influencia de las distintas variables, la relación entre ellas y la complejidad del modelo en los problemas de matemática aplicada.
• CE5: Capacidad de seleccionar las propiedades estructurales de objetos matemáticos distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales, y poder probarlas con demostraciones rigurosas o refutarlas con contraejemplos.
• CE6: Capacidad de formular modelos matemáticos que permitan calcular soluciones o la evolución de un determinado sistema de un problema de aplicación directa, así como de analizar e interpretar otros modelos existentes.
• CE7: Capacidad de utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización para la resolución de problemas.
• CE11: Capacidad para parametrizar las curvas en el plano y en el espacio para aplicar la teoría de curvas y superficies.

Competencias transversales

• CT1: Aplicar las nuevas tecnologías como herramientas para el intercambio comunicacional en el desarrollo de procesos de indagación y de aprendizaje.
• CT2: Desarrollar habilidades de comunicación, para redactar informes y documentos, o realizar atractivas y eficaces presentaciones de los mismos.

Tema 1. Introducción a las ecuaciones diferenciales

• Introducción y objetivos
• Procesos descritos por ecuaciones diferenciales
• Definición de ecuación diferencial
• Clasificación de ecuaciones diferenciales
• Soluciones de ecuaciones diferenciales:
  analítica, cualitativa y numérica
• Cuaderno de ejercicios

Tema 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden

• Introducción y objetivos
• Ecuaciones diferenciales separables
• Ecuaciones diferenciales exactas
• Ecuaciones diferenciales lineales
• Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
  ordinarias
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 3. Problemas de valor inicial

• Introducción y objetivos
• El problema de valor inicial
• Teorema de existencia y unicidad
• Métodos numéricos para problemas de valor
  inicial
• Cuaderno de ejercicios

Tema 4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

• Introducción y objetivos
• Clasificación de sistemas de primer orden
• Sistemas lineales de primer orden
• Sistemas lineales con coeficientes constantes
• Aplicaciones de los sistemas lineales
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 5. Introducción a las ecuaciones lineales de orden superior

• Introducción y objetivos
• Definiciones previas
• Soluciones de ecuaciones lineales
• Solución de la ecuación homogénea
• Cuaderno de ejercicios

Tema 6. ED con coeficient4es constantes (I): métod de los coeficientes indeterminados

• Introducción y objetivos
• Solución homogénea
• Solución particular: método de coeficientes
  indeterminados.
• Referencias bibliográficas
• Cuaderno de ejercicios

Tema 7. ED con coeficientes constantes (II): método de Laplace

• Introducción y objetivos
  
• La transformada de Laplace
  
• La transformada inversa de Laplace
• La función escalón y la función impulso
  
• Propiedades de la Transformada de Laplace
  
• Solución de ED con coeficientes constantes a
  partir de la transformada de Laplace
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 8. ED con coeficientes variables

• Introducción y objetivos
  
• Ecuaciones con coeficientes variables
  
• Ecuación de Euler-Cauchy
  
• Series de potencias
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 9. Problemas de frontera

• Introducción y objetivos
  
• El problema de frontera
  
• El método de disparo para PF lineales
  
• El método de disparo para PF no lineales
  
• Cuaderno de ejercicios

Tema 10. Series de Fourier

• Introducción y objetivos
  
• Ortogonalidad
  
• Serie de Fourier
• Las series seno y coseno
  
• Problemas de Sturm-Liouville
  
• Cuaderno de ejercicios

Las actividades formativas de la asignatura se han elaborado con el objetivo de adaptar el proceso de aprendizaje a las diferentes capacidades, necesidades e intereses de los alumnos.

Las actividades formativas de esta asignatura son las siguientes:

• Trabajos individuales. Se trata de actividades de diferentes tipos: reflexión, análisis de casos, prácticas, análisis de textos, etc.
• Trabajos colaborativos. Son actividades grupales en las que tendrás la oportunidad de trabajar con tus compañeros. Durante el desarrollo de la asignatura tendrás toda la información que necesites sobre cómo organizarte para trabajar en equipo.
• Participación en eventos. Son actividades programadas todas las semanas del cuatrimestre como clases en directo o foros de debate.

Descargar programación

Estas actividades formativas prácticas se completan, por supuesto, con estas otras:

• Estudio personal
• Tutorías. Las tutorías se pueden articular a través de diversas herramientas y medios. Durante el desarrollo de la asignatura, el profesor programa tutorías en días concretos para la resolución de dudas de índole estrictamente académico a través de las denominadas “sesiones de consultas”. Como complemento de estas sesiones se dispone también del foro “Pregúntale al profesor de la asignatura” a través del cual se articulan algunas preguntas de alumnos y las correspondientes respuestas en el que se tratan aspectos generales de la asignatura. Por la propia naturaleza de los medios de comunicación empleados, no existen horarios a los que deba ajustarse el alumno.
• Examen final presencial

Las horas de dedicación a cada actividad se detallan en la siguiente tabla:

ACTIVIDADES FORMATIVAS	HORAS POR ASIGNATURA	% PRESENCIAL
Sesiones presenciales virtuales	15 horas	100%
Recursos didácticos audiovisuales	6 horas	0
Estudio del material básico	52 horas	0
Lectura del material complementario	25 horas	0
Trabajos, casos prácticos y test de evaluación	17 horas	0
Sesiones prácticas de laboratorio virtual	12 horas	16,7%
Tutorías	16 horas	30%
Trabajo colaborativo	7 horas	0
Total	150 horas	-

Bibliografía básica

Recuerda que la bibliografía básica es imprescindible para el estudio de la asignatura. Cuando se indica que no está disponible en el aula virtual, tendrás que obtenerla por otros medios: librería UNIR, biblioteca...

Los textos necesarios para el estudio de la asignatura han sido elaborados por UNIR y están disponibles en formato digital para consulta, descarga e impresión en el aula virtual.

Bibliografía complementaria

• Blanchard, P. D. (1998). Ecuaciones Diferenciales. Thomson.
• Borrelli, R. L., & Coleman, C. S. (1998). Differential Equations: a Modelling Perspective. Wiley.
• Butcher, J. C. (2016). Numerical methods for ordinary differential equations. Wiley.
• Dechaumphai, P. (2016). Calculus and differential equations with Matlab. Alpha Science International.
• Edwards, C. H., & Penney, D. E. (2009). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Pearson.
• García, A. E., & Reich, D. (2015). Ecuaciones diferenciales: una nueva visión. Patria.
• Izquierdo, J., & Torregrosa, J. R. (1997). Álgebra y Ecuaciones Diferenciales. Universitat Politècnica de València.
• Pagola, P. J., & López, J. L. (2017). Cálculo en varias variables y ecuaciones diferenciales: una aproximación intuitiva. Universidad Pública de Navarra.
• Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2009). Differential equations with boundary-value problems. Brooks/Cole.
  

El sistema de calificación se basa en la siguiente escala numérica:

0 - 4, 9	Suspenso	(SS)
5,0 - 6,9	Aprobado	(AP)
7,0 - 8,9	Notable	(NT)
9,0 - 10	Sobresaliente	(SB)

La calificación se compone de dos partes principales:

El examen se realiza al final del cuatrimestre y es de carácter PRESENCIAL y OBLIGATORIO. Supone el 60% de la calificación final y para que la nota obtenida en este examen se sume a la nota final, es obligatorio APROBARLO.

La evaluación continua supone el 40% de la calificación final. Este 40% de la nota final se compone de las calificaciones obtenidas en las diferentes actividades formativas llevadas a cabo durante el cuatrimestre.

Ten en cuenta que la suma de las puntuaciones de las actividades de la evaluación continua permite que realices las que prefieras hasta conseguir el máximo puntuable mencionado. En la programación semanal de la asignatura, se detalla la calificación máxima de cada actividad o evento concreto puntuables.

Sistema de evaluación	Ponderación min - max
Participación del estudiante (sesiones, foros, tutorías)	0% - 10%
Trabajos, proyectos, laboratorios/talleres y casos	10% - 20%
Prácticas de laboratorio virtual	20% - 30%
Test de evaluación	0% - 10%
Examen final presencial	60% - 60%

Marc Jorba Cuscó

Formación académica: Es graduado en Matemáticas (Universitat Autònoma de Barcelona, 2012), tiene un Máster en Matemáticas avanzadas (Universitat de Barcelona, 2013) así como un doctorado en Matemáticas (Universitat de Barcelona, 2019). 

Experiencia:Ha trabajado como docente en la Universitat de Barcelona desde 2013 a 2018. Primero con una beca de apoyo a la docencia cuando cursaba estudios de Máster. Luego, dando clases durante el desarrollo de su tesis doctoral. En particular, ha impartido asignaturas de programación, métodos numéricos y ecuaciones diferenciales. En 2019 trabajó en la Universitat Pompeu Fabra impartiendo un curso de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Colabora con UNIR desde 2019 tutorizando TFMs.

Líneas de investigación: Su área de investigación son los sistemas dinámicos (SD) aplicados a la astrodinámica. Ha trabajado, sobretodo, en el estudio de la dinámica natural del sistema Tierra-Luna y su sensibilidad a las perturbaciones solares (gravedad y presión de radiación solar). También ha trabajado en problemas de recolisión de particulas en un átomo  y (en un ámbito teórico) en la fractalización de curvas invariantes. Todo esto en el grupo de SD de la UB. Tambiém ha estudiado el sistema Marte-Phobos el CNES.

Noèlia Viles Cuadros

Formación académica: Doctora en Matemáticas en el Área de Estadística e Investigación Operativa por la Universidad Autónoma de Barcelona y científica de datos, con Máster en Matemáticas financieras por la misma universidad y Posgrado en Data Science y Big Data por la Universidad de Barcelona.  

Experiencia:Ha trabajado como científica de datos en el Global Digital Hub de Nestlé y en el Grupo Godó. Ha trabajado en la Universidad de Barcelona con una beca postdoctoral Juan de la Cierva, en el Basque Center of Applied Mathematics (BCAM), en el Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires (LPMA) de la Université Pierre et Marie Curie. Ha trabajado como profesora e investigadora predoctoral en la Universidad Autónoma de Barcelona. Ha publicado artículos científicos en revistas especializadas y participado en diversos proyectos de investigación.

Líneas de investigación: Sus principales líneas de investigación son los modelos estocásticos, el aprendizaje automático y la ciencia de datos.

Al tratarse de formación online puedes organizar tu tiempo de estudio como desees, siempre y cuando vayas cumpliendo las fechas de entrega de las actividades y la fecha de exámenes. Nosotros, para ayudarte, te proponemos los siguientes pasos:

1. Desde el Campus virtual podrás acceder al aula virtual de cada asignatura en la que estés matriculado y, además, al aula virtual del Curso de introducción al campus virtual. Aquí podrás consultar la documentación disponible sobre cómo se utilizan las herramientas del aula virtual y sobre cómo se organiza una asignatura en UNIR. También podrás organizar tu plan de trabajo con tu tutor personal.
2. Observa la programación semanal. Allí te indicamos qué parte del temario debes trabajar cada semana.
3. Ya sabes qué trabajo tienes que hacer durante la semana. Accede ahora a la sección Temas del aula virtual. Allí encontrarás el material teórico y práctico del tema correspondiente a esa semana.
4. Comienza con la lectura de las Ideas clave del tema. Este material es el que debes estudiar para superar la asignatura. Consulta, además, las secciones del tema que contienen material complementario: con esto podrás tener una visión más amplia sobre el tema que estaás trabajando..
5. Dedica tiempo al trabajo práctico (sección Actividades). En la programación semanal te detallamos cuáles son las actividades correspondientes a cada semana y qué calificación máxima puedes obtener con cada una de ellas.
6. Te recomendamos que participes en los eventos del curso (clases en directo, foros de debate…). Para conocer la fecha concreta de celebración de los eventos debes consultar las herramientas de comunicación del aula vitual. Tu profesor y tu tutor personal te informarán de las novedades de la asignatura.

En el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual encontrarás siempre disponible la documentación donde te explicamos cómo se estructuran los temas y qué podrás encontrar en cada una de sus secciones. Tambén puedes consulltar ahí el funcionamiento de las distintas herramientas del aula virtual: Correo, Foro, Clases en directo, Envío de actividades, etc.