Presentación

La asignatura Métodos Numéricos II profundiza en las técnicas de aproximación de soluciones para problemas muy presentes en distintos ámbitos de la ciencia y la ingeniería: numerosos problemas, con condiciones en la frontera o de valor inicial, son modelizados mediante ecuaciones diferenciales o en derivadas parciales. Para ello, nos apoyamos en las competencias adquiridas en la asignatura Métodos Numéricos I, tanto en el manejo de herramientas computacionales (fundamentalmente Matlab) como en las habilidades para resolver problemas de aproximación de funciones, fórmulas de cuadratura o técnicas de resolución de problemas de valor inicial.

Tras un primer tema introductorio en el que se tratarán aspectos generales sobre los problemas a resolver y las técnicas que utilizaremos para ello, pasaremos a centrarnos en la resolución de problemas de frontera unidimensionales. Estos problemas están modelizados mediante una ecuación diferencial ordinaria con condiciones en la frontera del intervalo donde está definida la variable independiente. Estas condiciones pueden ser de diferentes tipos, en los que interviene la función incógnita o sus derivadas evaluadas en sendos extremos de dicho intervalo. Abordaremos estos problemas mediante su aproximación por sucesivos problemas de valor inicial, planteados de forma que su solución tienda a la del problema original, y también mediante su transformación en un sistema de ecuaciones algebraicas a través de la técnica de diferencias finitas.

Esta será también la forma en la que trabajemos inicialmente los problemas de frontera multidimensionales. Aplicaremos esta metodología en problemas modelizados por ecuaciones en derivadas parciales tanto de primer como de segundo orden, centrándonos en este último caso en los problemas clásicos de difusión del calor, transmisión por ondas y el problema bidimensional de Laplace y Poisson.

Finalmente, introduciremos la técnica de elementos finitos que nos permitirá resolver esos problemas cuando los recintos en los que están definidas las variables independientes no sean regulares.

Competencias básicas

• CB1: Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
• CB2: Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio.
• CB3: Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.
• CB4: Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado.
• CB5: Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.

Competencias generales

• CG1:Ser capaz de aplicar los conocimientos matemáticos de forma rigurosa por medio de la elaboración y defensa de argumentos y en la resolución de problemas.
• CG2: Poder aplicar sus conocimientos y comprensión mediante capacidades de resolución de problemas en entornos nuevos poco conocidos dentro de conceptos más amplios (multidisciplinares) relacionados con el ámbito de la comunicación audiovisual.

Competencias específicas

• CE1: Conocimiento del marco teórico y práctico en el que se desarrolla de manera profesional la creación audiovisual.
• CE4 Ser capaz de interpretar la influencia de las distintas variables, la relación entre ellas y la complejidad del modelo en los problemas de matemática aplicada.
• CE7: Capacidad de utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización para la resolución de problemas.
• CE10: Capacidad de programar para resolver problemas relacionados con la matemática aplicada.

Competencias transversales

• CT1: Aplicar las nuevas tecnologías como herramientas para el intercambio comunicacional en el desarrollo de procesos de indagación y de aprendizaje.
• CT2: Desarrollar habilidades de comunicación, para redactar informes y documentos, o realizar atractivas y eficaces presentaciones de los mismos.

Módulo I.

Tema 1. ntroducción

• 1.1 Introducción y objetivos
• 1.2 ¿Qué problemas pretendemos resolver?
• 1.3 Herramientas para abordar estos problemas
• 1.4 Tipos de errores
• 1.5 Aproximación de funciones
• 1.6 Fórmulas de cuadratura

Tema 2. Problemas de frontera unidimensionales. Métodos de disparo

• 2.1 Introducción y objetivos
• 2.2 Conceptos básicos
• 2.3 Método de disparo lineal
• 2.4 Método de disparo no lineal
• 2.5 Ejercicios propuestos

Tema 3. Problemas de frontera unidimensionales. Métodos de diferencias finitas

• 3.1. Introducción y objetivos
• 3.2. Conceptos básicos
• 3.3. Diferencias finitas lineales
• 3.4. Diferencias finitas no lineales
• 3.5. Ejercicios propuestos

Tema 4. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales

• 4.1 Introducción y objetivos
• 4.2 Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
• 4.3 Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden
• 4.4 Técnicas numéricas de resolución
• 4.5 Referencias bibliográficas

Tema 5. Ecuaciones en derivadas parciales parabólicas (1)

• 5.1 Introducción y objetivos
• 5.2 Ecuación del calor clásica
• 5.3 Método explícito con condiciones de contorno Dirichlet
• 5.4 Método explícito con condiciones naturales o mixtas
• 5.5 Ejercicios resueltos
• 5.6 Ejercicios propuestos

Tema 6. Ecuaciones en derivadas parciales parabólicas (2)

• 6.1 Introducción y objetivos
• 6.2 Método implícito con condiciones de contorno Dirichlet
• 6.3 Método de Crank-Nicholson con condiciones de contorno Dirichlet
• 6.4 Métodos implícitos con condiciones naturales o mixtas
• 6.5 Ejercicios resueltos
• 6.6 Ejercicios propuestos

Módulo II. Marco legal

Tema 7. Ecuaciones en derivadas parciales hiperbólicas

• 7.1 Introducción y objetivos
• 7.2 Ecuación de ondas clásica
• 7.3 Método explícito con condiciones de contorno Dirichlet
• 7.4 Método implícito con condiciones de contorno Dirichlet
• 7.5 Ejercicios propuestos

Tema 8. Ecuaciones en derivadas parciales elípticas

• 8.1 Introducción y objetivos
• 8.2 Sistemas de ecuaciones lineales
• 8.3 Problemas de contorno elípticos
• 8.4 Ejercicios propuestos

Tema 9. Elementos finitos (1)

• 9.1 Introducción y objetivos
• 9.2 Formulación variacional de un problema de frontera
• 9.3 Método de Rayleigh-Ritz
• 9.4 Ejercicios resueltos
• 9.5 Ejercicios propuestos

Tema 10. Elementos finitos (2)

• 10.1 Introducción y objetivos
• 10.2 Formulación variacional multidimensional
• 10.3 Ejercicios resueltos
• 10.4 Ejercicios propuestos
• 10.5 Referencias bibliográficas

Las actividades formativas de la asignatura se han elaborado con el objetivo de adaptar el proceso de aprendizaje a las diferentes capacidades, necesidades e intereses de los alumnos.

Las actividades formativas de esta asignatura son las siguientes:

• Trabajos individuales. Se trata de actividades de diferentes tipos: reflexión, análisis de casos, prácticas, análisis de textos, etc.
• Trabajos colaborativos. Son actividades grupales en las que tendrás la oportunidad de trabajar con tus compañeros. Durante el desarrollo de la asignatura tendrás toda la información que necesites sobre cómo organizarte para trabajar en equipo.
• Participación en eventos. Son actividades programadas todas las semanas del cuatrimestre como clases en directo o foros de debate.

Descargar programación

Estas actividades formativas prácticas se completan, por supuesto, con estas otras:

• Estudio personal.
• Tutorías. Las tutorías se pueden articular a través de diversas herramientas y medios. Durante el desarrollo de la asignatura, el profesor programa tutorías en días concretos para la resolución de dudas de índole estrictamente académico a través de las denominadas “sesiones de consultas”. Como complemento de estas sesiones se dispone también del foro “Pregúntale al profesor de la asignatura” a través del cual se articulan algunas preguntas de alumnos y las correspondientes respuestas en el que se tratan aspectos generales de la asignatura. Por la propia naturaleza de los medios de comunicación empleados, no existen horarios a los que deba ajustarse el alumno.
• Examen final presencial u online

Las horas de dedicación a cada actividad se detallan en la siguiente tabla:

ACTIVIDADES FORMATIVAS	HORAS POR ASIGNATURA	% PRESENCIAL
Clases en directo	15 horas	100 %
Lecciones magistrales	6 horas	0
Estudio del material básico	52 horas	0
Lectura del material complementario	25 horas	0
Trabajos, casos prácticos	17 horas	0
Tutorías	16 horas	30%
Sesiones prácticas del laboratorio virtual	12 horas	16,7%
Trabajo colaborativo	7 horas	0
Total	150 horas	-

Bibliografía básica

Recuerda que la bibliografía básica es imprescindible para el estudio de la asignatura. Cuando se indica que no está disponible en el aula virtual, tendrás que obtenerla por otros medios: librería UNIR, biblioteca...

Los textos necesarios para el estudio de la asignatura han sido elaborados por UNIR y están disponibles en formato digital para consulta, descarga e impresión en el aula virtual.

Bibliografía complementaria

• Arrieta Algarra, J. M., Ferreira de Pablo, R., Pardo San Gil, R. M., Rodríguez Bernal, A. (2020). Análisis numérico de ecuaciones diferenciales ordinarias. España: Ediciones Paraninfo, S.A.
• Burden, R. L. y Faires, J. D. (2016). Numerical analysis (10ª ed). Brooks/Cole CENGAGE learning.
• Chapra, S. C. y Canale, R. P. (2015). Métodos numéricos para ingenieros (7ª ed.). McGraw-Hill.
• Coleman, M. P. (2013). An Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB. Ed. Taylor & Francis.
• Cordero, A., Hueso, J. L., Martínez, E. y Torregrosa, J. R. (2004). Cálculo Numérico. Universitat Politècnica de València.
• Cordero, A., Hueso, J. L., Martínez, E. y Torregrosa, J. R. (2005). Métodos numéricos con Matlab. Universitat Politècnica de València.
• Cordero, A., Hueso, J. L., Martínez, E. y Torregrosa, J. R. (2006). Problemas resueltos de métodos numéricos. Thomson.
• Lapidus, L. y Pinder, G. (1999). Numerical solution of partial differential equations in science and engineering. Ed. Wiley Interscience Publication.
• Lara, L., Chávez, Z., and Castañeda, J. (2019). El método de diferencias finitas. Teoría y práctica. Universidad privada Antenor Orrego.
• Mathews, J. y Fink, K. (1999). Métodos Numéricos con Matlab. Ed. Prentice-Hall.
• Myint-U, T. y Debnath, L. (1987). Partial differential equations for Scientist and engineers. Ed. North-Holland.

El sistema de calificación se basa en la siguiente escala numérica:

0 - 4, 9	Suspenso	(SS)
5,0 - 6,9	Aprobado	(AP)
7,0 - 8,9	Notable	(NT)
9,0 - 10	Sobresaliente	(SB)

La calificación se compone de dos partes principales:

El examen se realiza al final del cuatrimestre y es de carácter PRESENCIAL u ONLINE y OBLIGATORIO. Supone el 60% de la calificación final y para que la nota obtenida en este examen se sume a la nota final, es obligatorio APROBARLO.

La evaluación continua supone el 40% de la calificación final. Este 40% de la nota final se compone de las calificaciones obtenidas en las diferentes actividades formativas llevadas a cabo durante el cuatrimestre.

Ten en cuenta que la suma de las puntuaciones de las actividades de la evaluación continua permite que realices las que prefieras hasta conseguir el máximo puntuable mencionado. En la programación semanal de la asignatura, se detalla la calificación máxima de cada actividad o evento concreto puntuables.

Sistema de evaluación	Ponderación min - max
Participación del estudiante (sesiones, foros, tutorías)	0% - 10%
Trabajos, proyectos, laboratorios/talleres y casos	10% - 20%
Prácticas de laboratorio virtual	20% - 30%
Test de autoevaluación	0% - 10%
Examen final	60% - 60%

Eva García Villalba

Formación académica: Es titulada en el Máster de Investigación Matemática por la Universitat de València y la Universitat Politècnica de València. Su trabajo final de máster, "Métodos iterativos multipaso para la resolución de sistemas no lineales" fue el comienzo en el campo del Análisis Numérico. Actualmente, se encuentra cursando su segundo año de Doctorado en Análisis Numérico por la Universitat Politècnica de València.

Experiencia: Durante el curso 2018-2019, comenzó su experiencia profesional con unas prácticas curriculares en investigación en el campo de la Matemática Aplicada en la Universitat Politècnica de València. Ha ejercido de profesora de matemáticas y otras ciencias en un centro de estudios de enseñanza no reglada desde el año 2020 hasta la actualidad. Actualmente, compagina este trabajo junto a la docencia en UNIR.

Lineas de investigación: Investiga en el campo de Análisis Numérico, centrándose en la investigación de métodos iterativos para la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales. Participa como doctorando en el grupo de investigación DAMRES del Instituto de Matemáticas Multidisciplinar, perteneciente a la Universitat Politècnica de València. Actualmente cuenta con un artículo publicado y dos artículos pendientes de publicar. Además, trabaja en dos nuevos artículos sobre métodos iterativos multipaso.

Al tratarse de formación on line puedes organizar tu tiempo de estudio como desees, siempre y cuando vayas cumpliendo las fechas de entrega de las actividades y la fecha de exámenes. Nosotros, para ayudarte, te proponemos los siguientes pasos:

1. Desde el campus virtual podrás acceder al aula virtual de cada asignatura en la que estés matriculado y, además, al aula virtual del Curso de introducción al campus virtual. Aquí podrás consultar la documentación disponible sobre cómo se utilizan las herramientas del aula virtual y sobre cómo se organiza una asignatura en UNIR. También podrás organizar tu plan de trabajo con tu tutor personal.
2. Observa la programación semanal. Allí te indicamos qué parte del temario debes trabajar cada semana.
3. Ya sabes qué trabajo tienes que hacer durante la semana. Accede ahora a la sección Temas del aula virtual. Allí encontrarás el material teórico del tema correspondiente a esa semana.
4. Comienza con la lectura del contenido teórico del tema. Este material es el que debes estudiar para superar la asignatura. Consulta, además, las secciones del tema que contienen material complementario: con esto podrás tener una visión más amplia sobre el tema que estás trabajando.
5. Dedica tiempo al trabajo práctico (sección Actividades). En la programación semanal te detallamos cuáles son las actividades correspondientes a cada semana y qué calificación máxima puedes obtener con cada una de ellas.
6. Te recomendamos que participes en los eventos del curso (clases en directo, foros de debate, etc.). Para conocer la fecha concreta de celebración de los eventos debes consultar las herramientas de comunicación del aula vitual. Tu profesor y tu tutor personal te informarán de las novedades de la asignatura.

En el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual encontrarás siempre disponible la documentación donde te explicamos cómo se estructuran los temas y qué podrás encontrar en cada una de sus secciones. También puedes consulltar ahí el funcionamiento de las distintas herramientas del aula virtual: correo, foro, clases en directo, envío de actividades, etc.