Presentación

La modelización matemática permite describir mediante expresiones matemáticas problemas complejos en diferentes áreas como la física, la química, la ingeniería, la epidemiología, la economía, la sociología, etc. Para modelizar estos procesos se suelen utilizar ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias, las cuales permiten describir un fenómeno dado en función de aspectos conocidos como la posición, velocidad o aceleración.

La representación de datos reales mediante modelos descritos por ecuaciones diferenciales (o en diferencias) conlleva un estudio exhaustivo sobre el fenómeno que se quiere estudiar. En la práctica real, estos datos están sujetos a una aleatoriedad procedente del propio fenómeno en sí o procedente de los errores cometidos a la hora de tomar medidas mediante aparatos electrónicos. Por ejemplo, la heterogeneidad de los materiales en física, las tasas de contagio en una enfermedad epidemiológica o la variabilidad de la bolsa de valores en finanzas tienen una incertidumbre intrínseca que debería ser estudiada.

Para poder describir un fenómeno real conociendo ciertos datos reales o por observaciones de este, los parámetros y funciones que definen el modelo matemático deben ser determinados. Dada la incertidumbre presente en los datos, parece razonable considerar que los parámetros o funciones del modelo sean considerados variables aleatorias o procesos estocásticos en vez de constantes o funciones deterministas, respectivamente. El hecho de considerar aleatoriedad en modelos descritos por ecuaciones diferenciales conduce al estudio de las Ecuaciones Diferenciales Aleatorias y Ecuaciones Diferenciales Estocásticas.

El objetivo principal de esta asignatura consiste en dar a conocer los aspectos más importantes sobre las ecuaciones diferenciales aleatorias y ecuaciones diferenciales estocásticas. Con ellas podremos obtener descripciones más precisas a la hora de representar un fenómeno real.

Competencias básicas

• CB6:Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
• CB7:Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
• CB8:Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
• CB9:Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.
• CB10:Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

Competencias generales

• CG1: Aplicar pensamiento crítico, lógico y creativo, en la vanguardia del campo de estudio, en un contexto de investigación.
• CG2:Capacidad para dirigir, planificar y supervisar equipos multidisciplinares.
• CG3:Que los estudiantes tomen decisiones a partir de consideraciones abstractas, para organizar, planificar y optimizar cuestiones de carácter matemático y computacional.
• CG4: Buscar y utilizar los recursos bibliográficos, físicos y/o electrónicos necesarios para abordar un problema.
• CG5: Presentar ideas, procedimientos o informes de investigación, así como asesorar a personas u organizaciones en su ámbito de especialización en Ingeniería Matemática y la Computación.
• CG6:Comprender y utilizar de manera avanzada el lenguaje y las herramientas matemáticas para modelizar, simular y resolver problemas complejos del ámbito de la ingeniería y de la industria, reconociendo y valorando las situaciones y problemas susceptibles de ser tratados matemáticamente.
• CG8: Elaborar adecuadamente y con argumentos motivados, proyectos de trabajo, redactar planes así como formular hipótesis y conjeturas razonables en el ámbito de la Ingeniería Matemática y la Computación.

Competencias específicas

• CE1:Proponer, analizar, validar e interpretar modelos matemáticos avanzados que simulen situaciones reales, utilizando las herramientas más adecuadas a los fines que se persigan.
• CE2:Capacidad de abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos de la ingeniería) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales, y poder probarlas con demostraciones rigurosas o refutarlas con contraejemplos.
• CE3:Capacidad para identificar teorías matemáticas no triviales necesarias para la construcción de modelos avanzados a partir de problemas de otras disciplinas relacionadas con la ingeniería.
• CE4:Capacidad para resolver problemas matemáticos avanzados, planificando su resolución en función de las herramientas disponibles y de las restricciones de tiempo y recursos.
• CE13:Capacidad para analizar y procesar datos que permitan generar y gestionar información útil en la toma de decisiones relacionadas con la ingeniería y la industria.
• CE15: Capacidad para asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.

Competencias transversales

• CT1:Organizar y planificar las tareas aprovechando los recursos, el tiempo y las competencias de manera óptima.
• CT2: Identificar las nuevas tecnologías como herramientas didácticas para el intercambio comunicacional en el desarrollo de procesos de indagación y de aprendizaje.
• CT3: Desarrollar habilidades de comunicación, para realizar atractivas y eficaces presentaciones de información profesional.
• CT4:Adquirir la capacidad de trabajo independiente, impulsando la organización y favoreciendo el aprendizaje autónomo.

Módulo I.

Tema 1. Preliminares: variables aleatorias

• 1.1 Introducción y objetivos
• 1.2. Variables aleatorias discretas
• 1.3. Variables aleatorias continuas
• 1.4. Momentos de una variable aleatoria
• 1.5. Variables aleatorias truncadas
• 1.6. Método de transformación de variables para una variable aleatoria
• 1.7. Referencias bibliográficas
• 1.8. Cuaderno de ejercicios

Tema 2. Preliminares: vectores aleatorios

• 2.1 Introducción y objetivos
• 2.2. Vectores aleatorios
• 2.3. Características de un vector aleatorio: marginalidad, independencia y momentos
• 2.4. Método de transformación para vectores aleatorios
• 2.5. Referencias bibliográficas
• 2.6. Cuaderno de ejercicios

Tema 3. Procesos estocásticos

• 3.1. Introducción y objetivos
• 3.2. Definición y fundamentos de los procesos estocásticos
• 3.3. Características de los procesos estocásticos
• 3.4. Propiedades de los procesos estocásticos
• 3.5. Proceso estocástico de Wiener
• 3.6. Proceso estocástico de Poisson
• 3.7. Referencias bibliográficas
• 3.8. Cuaderno de ejercicios

Tema 4. Simulación numérica utilizando el método de Montecarlo

• 4.1 Introducción y objetivos
• 4.2. Muestreo de variables aleatorias utilizando el método de Montecarlo
• 4.3. Resolución numérica de ecuaciones diferenciales aleatorias utilizando el método de Montecarlo
• 4.4. Referencias bibliográficas
• 4.5. Cuaderno de ejercicios

Tema 5. Fundamentos de ecuaciones diferenciales aleatorias (EDAs)

• 5.1 Introducción y objetivos
• 5.2. Cálculo en media cuadrática
• 5.3. Resolución de una EDA mediante series de potencias
• 5.4. Referencias bibliográficas
• 5.5. Cuaderno de ejercicios

Tema 6. Cálculo de la densidad de una ecuación diferencial aleatoria (EDA)

• 6.1 Introducción y objetivos
• 6.2. Método de transformación de vectores aleatorios para obtener la 1-PDF de una EDA
• 6.3. Método de Liouville-Gibbs para obtener la 1-PDF de una EDA

Tema 7. Modelización de problemas reales mediante ecuaciones diferenciales aleatorias (EDAs)

• 7.1 Introducción y objetivos
• 7.2 Descripción del modelo SIS
• 7.3 Solución del modelo SIS y obtención de la primera función de densidad de probabilidad
• 7.4 Expresiones para la media y la varianza e intervalos de confianza
• 7.5 Distribución estadística del tiempo para que se alcance un porcentaje dado de susceptibles
• 7.6 Número básico de reproducción o R0
• 7.7 Ajuste paramétrico para la representación de datos reales
• 7.8 Resultados numéricos
• 7.9 Referencias bibliográficas

Tema 8. Integral de Itô. Resolución de Integrales estocásticas

• 8.1 Introducción y objetivos
• 8.2 Concepto de ecuación diferencial estocástica
• 8.3 Definición de la integral de Itô y lema de Itô
• 8.4 Resolución de integrales estocásticas tipo Itô
• 8.5 Referencias bibliográficas

Tema 9. Resolución de ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs) y cálculo de momentos

• 9.1 Introducción y objetivos
• 9.2 Aplicación del lema de Itô para el cálculo de momentos de la solución de una ecuación diferencial estocástica (EDEs)
• 9.3 Aplicación del lema de Itô para la obtención explícita de EDEs
• 9.4 Referencias bibliográficas

Tema 10. Modelización de un problema real mediante ecuaciones diferenciales estocásticas

• 10.1 Introducción y objetivos
• 10.2 Motivación del modelo de Vasicek
• 10.3 Modelo de Vasicek con incertidumbre
• 10.4 Cálculo de la solución, media y varianza del modelo de Vasicek
• 10.5 Estimación de parámetros: método de máxima verosimilitud
• 10.6 Referencias bibliográficas

Las actividades formativas de la asignatura se han elaborado con el objetivo de adaptar el proceso de aprendizaje a las diferentes capacidades, necesidades e intereses de los alumnos.

Las actividades formativas de esta asignatura son las siguientes:

• Trabajos individuales. Se trata de actividades de diferentes tipos: reflexión, análisis de casos, prácticas, análisis de textos, etc.
• Trabajos colaborativos. Son actividades grupales en las que tendrás la oportunidad de trabajar con tus compañeros. Durante el desarrollo de la asignatura tendrás toda la información que necesites sobre cómo organizarte para trabajar en equipo.
• Participación en eventos. Son actividades programadas todas las semanas del cuatrimestre como clases en directo o foros de debate.

Descargar programación

Estas actividades formativas prácticas se completan, por supuesto, con estas otras:

• Estudio personal.
• Tutorías. Las tutorías se pueden articular a través de diversas herramientas y medios. Durante el desarrollo de la asignatura, el profesor programa tutorías en días concretos para la resolución de dudas de índole estrictamente académico a través de las denominadas “sesiones de consultas”. Como complemento de estas sesiones se dispone también del foro “Pregúntale al profesor de la asignatura” a través del cual se articulan algunas preguntas de alumnos y las correspondientes respuestas en el que se tratan aspectos generales de la asignatura. Por la propia naturaleza de los medios de comunicación empleados, no existen horarios a los que deba ajustarse el alumno.
• Examen final presencial u online

Las horas de dedicación a cada actividad se detallan en la siguiente tabla:

ACTIVIDADES FORMATIVAS	HORAS POR ASIGNATURA	% PRESENCIAL
Clases en directo	45 horas	100 %
Lecciones magistrales	18 horas	0
Estudio del material básico	180 horas	0
Lectura del material complementario	135 horas	0
Trabajos, casos prácticos	75 horas	0
Tutorías	48 horas	30%
Sesiones prácticas del laboratorio virtual	12 horas	16,7%
Trabajo colaborativo	21 horas	0
Exámen final	6 horas	100%

Bibliografía básica

Recuerda que la bibliografía básica es imprescindible para el estudio de la asignatura. Cuando se indica que no está disponible en el aula virtual, tendrás que obtenerla por otros medios: librería UNIR, biblioteca...

Los textos necesarios para el estudio de la asignatura han sido elaborados por UNIR y están disponibles en formato digital para consulta, descarga e impresión en el aula virtual.

Además, en estos temas deberás estudiar la siguiente bibliografía:

• Allen, E. (2007). Modeling with Itô stochastic differential equations (vol. 22). Springer Science & Business Media.
• Allen, L. J. S. (2010). An introduction to stochastic processes with applications to biology. CRC Press.
• Calatayud, J., Cortés, J. C., Jornet, M. y Villanueva, R. J. (2019). An introduction to Random Variables, Random Vectors and Stochastic Processes. Colección académica.
• Kao, E. (2020) An Introduction to Stochastic Processes (Dover Books on Mathematics). Dover Publications Inc.
• Kloeden, P.E. y Platen, E. (1992). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer.
• Mikosh, T. (1998). Elementary stochastic calculus with finance in view. World scientific.
• Rosenthal, J. S. (2019) First Look at Stochastic Processes. World Scientific (WSPC).
• Ross, S. M. (2014). Introduction to probability models. Academic press.
• Särkkä, S. Solin, A. (2019). Applied Stochastic Differential Equations. Cambridge University Press, 1st edition.
• Soong, T. T. (1973). Random Differential Equations in Science and Engineering. New York Academic Press.

El sistema de calificación se basa en la siguiente escala numérica:

0 - 4, 9	Suspenso	(SS)
5,0 - 6,9	Aprobado	(AP)
7,0 - 8,9	Notable	(NT)
9,0 - 10	Sobresaliente	(SB)

La calificación se compone de dos partes principales:

El examen se realiza al final del cuatrimestre y es de carácter PRESENCIAL u ONLINE y OBLIGATORIO. Supone el 60% de la calificación final y para que la nota obtenida en este examen se sume a la nota final, es obligatorio APROBARLO.

La evaluación continua supone el 40% de la calificación final. Este 40% de la nota final se compone de las calificaciones obtenidas en las diferentes actividades formativas llevadas a cabo durante el cuatrimestre.

Ten en cuenta que la suma de las puntuaciones de las actividades de la evaluación continua permite que realices las que prefieras hasta conseguir el máximo puntuable mencionado. En la programación semanal de la asignatura, se detalla la calificación máxima de cada actividad o evento concreto puntuables.

Sistema de evaluación	Ponderación min - max
Participación del estudiante (sesiones, foros, tutorías)	0 - 40.0
Trabajos, proyectos, laboratorios/talleres y casos	0.0 - 40.0
Test de autoevaluación	0 - 40.0
Examen final	60.0 - 60.0

Noelia Viles Cuadros

Formación académica: Doctora en Matemáticas, Máster en Matemáticas financieras en la Universitat Autónoma de Barcelona. Posgrado en Data Science y Big data en la Universitat de Barcelona y licenciada en Matemáticas en la Universitat Autónoma de Barcelona.

Experiencia: Actualmente es fundadora y científica de datos en AIM Analytics y colaboro en la UNIR impartiendo docencia y dirigiendo TFM. Ha trabajado como científica de datos en Nestlé y La Vanguardia-Grupo Godó. Ha sido investigadora postdoctoral en distintas universidades y centros de investigación: Universitat de Barcelona, Universitat Autònoma de Barcelona, Basque Center of Applied Mathematics, Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires en la Université Pierre et Marie Curie.

Al tratarse de formación on line puedes organizar tu tiempo de estudio como desees, siempre y cuando vayas cumpliendo las fechas de entrega de las actividades y la fecha de exámenes. Nosotros, para ayudarte, te proponemos los siguientes pasos:

1. Desde el campus virtual podrás acceder al aula virtual de cada asignatura en la que estés matriculado y, además, al aula virtual del Curso de introducción al campus virtual. Aquí podrás consultar la documentación disponible sobre cómo se utilizan las herramientas del aula virtual y sobre cómo se organiza una asignatura en UNIR. También podrás organizar tu plan de trabajo con tu tutor personal.
2. Observa la programación semanal. Allí te indicamos qué parte del temario debes trabajar cada semana.
3. Ya sabes qué trabajo tienes que hacer durante la semana. Accede ahora a la sección Temas del aula virtual. Allí encontrarás el material teórico del tema correspondiente a esa semana.
4. Comienza con la lectura del contenido teórico del tema. Este material es el que debes estudiar para superar la asignatura. Consulta, además, las secciones del tema que contienen material complementario: con esto podrás tener una visión más amplia sobre el tema que estás trabajando.
5. Dedica tiempo al trabajo práctico (sección Actividades). En la programación semanal te detallamos cuáles son las actividades correspondientes a cada semana y qué calificación máxima puedes obtener con cada una de ellas.
6. Te recomendamos que participes en los eventos del curso (clases en directo, foros de debate, etc.). Para conocer la fecha concreta de celebración de los eventos debes consultar las herramientas de comunicación del aula vitual. Tu profesor y tu tutor personal te informarán de las novedades de la asignatura.

En el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual encontrarás siempre disponible la documentación donde te explicamos cómo se estructuran los temas y qué podrás encontrar en cada una de sus secciones. También puedes consulltar ahí el funcionamiento de las distintas herramientas del aula virtual: correo, foro, clases en directo, envío de actividades, etc.