Presentación

Los sistemas dinámicos forman parte de casi todos los procesos que residen en la naturaleza. Siempre que en un sistema entre en juego el tiempo, estaremos ante un proceso dinámico.

Los sistemas dinámicos se fundamentan en la variación que tienen determinados parámetros o magnitudes con el tiempo. Más que la resolución analítica de sistemas dinámicos, lo que interesa en esta asignatura es el comportamiento cualitativo de estos, lo cual no exonera del uso de herramientas de cálculo.

En función del tratamiento que se haga del tiempo, hablaremos de sistemas dinámicos continuos o discretos. Los primeros se representan a partir de ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones en derivadas parciales, mientras que para los segundos recurriremos a las ecuaciones en diferencias. La búsqueda de soluciones en ambos casos se complementa con herramientas gráficas que permiten predecir qué ocurrirá en un futuro en dichos sistemas.

La asignatura se organiza en tres bloques fundamentales: sistemas discretos, sistemas continuos y otros sistemas (caos y dinámica simbólica). En cada bloque, encontraremos una clasificación y veremos ejemplos de resolución analítica y gráfica de cada caso.

Los contenidos de los dos bloques fundamentales se ven complementados, para una mejor comprensión, por una serie de ejercicios y prácticas en Scilab, un software libre de análisis numérico y lenguaje de programación de alto nivel.

Competencias básicas

• CB6: Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
• CB7: Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
• CB8: Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
• CB10: Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

Competencias generales

• CG1: Aplicar pensamiento crítico, lógico y creativo, en la vanguardia del campo de estudio, en un contexto de investigación.
• CG3: Que los estudiantes tomen decisiones a partir de consideraciones abstractas, para organizar, planificar y optimizar cuestiones de carácter matemático y computacional.
• CG4: Buscar y utilizar los recursos bibliográficos, físicos y/o electrónicos necesarios para abordar un problema.
• CG5: Presentar ideas, procedimientos o informes de investigación, así como asesorar a personas u organizaciones en su ámbito de especialización en Ingeniería Matemática y la Computación.
• CG6: Comprender y utilizar de manera avanzada el lenguaje y las herramientas matemáticas para modelizar, simular y resolver problemas complejos del ámbito de la ingeniería y de la industria, reconociendo y valorando las situaciones y problemas susceptibles de ser tratados matemáticamente.
• CG7: Integrar de forma autónoma diferentes teorías y modelos haciendo una reflexión personal y creativa adaptada a sus propias necesidades profesionales.

Competencias específicas

• CE9: Capacidad para saber elegir y utilizar aplicaciones informáticas, de cálculo numérico y simbólico u otras, para experimentar en matemáticas y resolver problemas complejos.

Competencias transversales

• CT1: Organizar y planificar las tareas aprovechando los recursos, el tiempo y las competencias de manera óptima.
• CT2: Identificar las nuevas tecnologías como herramientas didácticas para el intercambio comunicacional en el desarrollo de procesos de indagación y de aprendizaje.
• CT4: Adquirir la capacidad de trabajo independiente, impulsando la organización y favoreciendo el aprendizaje autónomo.

Tema 1. Introducción a los sistemas dinámicos

• Los sistemas dinámicos
• Clasificación de los sistemas dinámicos
• Sistemas dinámicos continuos (SDC)
• Sistemas dinámicos discretos (SDD)
• Referencias

Tema 2. Sistemas lineales de orden uno

• Fundamentos de EDO de orden uno
• Representación gráfica de EDO
• Dinámica de las EDO autónomas
• Referencias

Tema 3. Sistemas lineales de orden superior

• Nociones básicas de álgebra lineal
• Sistemas lineales planos
• Representaciones gráficas de sistemas planos
• Análisis dinámico de sistemas planos
• Referencias

Tema 4. SDC: Sistemas no lineales

• Sistemas no lineales
• Equilibrio en sistemas no lineales
• Estabilidad de Liapunov
• Referencias

Tema 5. Práctica de SDC

• Introducción a Scilab
• Representaciones gráficas de sistemas dinámicos y solución
• El sistema de Lorenz
• Referencias

Tema 6. SDD: introducción a los sistemas dinámicos discretos

• Los sistemas dinámicos discretos
• Dinámica de sistemas discretos
• Representaciones gráficas
• Referencias

Tema 7. Sistemas reales

• Los sistemas reales
• Diagrama de bifurcación
• Dinámica real 1D
• Dinámica real 2D
• Referencias

Tema 8. SDD: Sistemas complejos

• Los sistemas complejos
• Representaciones gráficas de dinámica compleja
• La familia cuadrática
• Referencias

Tema 9. SDD: Sistemas iterativos I

• Los sistemas basados en métodos iterativos
• Preliminares de diámica compleja
• El método de Newton
• Métodos basados en Newton
• Referencias

Tema 10. SDD: Sistemas iterativos II

• El método de Newton amortiguado
• Métodos libres de derivadas
• Referencias

Tema 11. Práctica de SDD I

• Introducción
• Dinámica real
• Referencias

Tema 12. Práctica de SDD II

• Introducción
• Dinámica compleja
• El método CT
• Referencias

Tema 12. Práctica de SDD II

• Introducción
• Dinámica compleja
• El método CT
• Referencias

Tema 13. Introducción al caos

• Los sistemas caóticos
• Análisis gráficos de sistemas caóticos
• Formulación matemática de sistemas caóticos
• Referencias

Tema 14. Dinámica simbólica

• La dinámica simbólica
• Representación binaria de números decimales
• Conceptos previos de dinámica simbólica
• El operador shift
• El conjunto de Cantor
• Referencias

Las actividades formativas de la asignatura se han elaborado con el objetivo de adaptar el proceso de aprendizaje a las diferentes capacidades, necesidades e intereses de los alumnos.

Las actividades formativas de esta asignatura son las siguientes:

• Trabajos individuales. Se trata de actividades de diferentes tipos: reflexión, análisis de casos, prácticas, análisis de textos, etc.
• Trabajos colaborativos. Son actividades grupales en las que tendrás la oportunidad de trabajar con tus compañeros. Durante el desarrollo de la asignatura tendrás toda la información que necesites sobre cómo organizarte para trabajar en equipo.
• Participación en eventos. Son actividades programadas todas las semanas del cuatrimestre como clases en directo o foros de debate.

Descargar programación

Estas actividades formativas prácticas se completan, por supuesto, con estas otras:

• Estudio personal
• Tutorías. Las tutorías se pueden articular a través de diversas herramientas y medios. Durante el desarrollo de la asignatura, el profesor programa tutorías en días concretos para la resolución de dudas de índole estrictamente académico a través de las denominadas “sesiones de consultas”. Como complemento de estas sesiones, se dispone también del foro “Pregúntale al profesor de la asignatura”, a través del cual se articulan algunas preguntas de alumnos y las correspondientes respuestas, y en el que se tratan aspectos generales de la asignatura. Por la propia naturaleza de los medios de comunicación empleados, no existen horarios a los que deba ajustarse el alumno.
• Examen final presencial

Las horas de dedicación a cada actividad se detallan en la siguiente tabla:

ACTIVIDADES FORMATIVAS	HORAS POR ASIGNATURA	% PRESENCIAL
Sesiones presenciales virtuales	15 horas	100%
Lecciones magistrales	6 horas	0
Estudio del material básico	50 horas	0
Lectura del material complementario	23 horas	0
Trabajos, casos prácticos, test	25 horas	0
Sesiones prácticas de laboratorio virtual	6 horas	0
Tutorías	16 horas	0
Trabajo colaborativo	7 horas	0
Examen final presencial	2 horas	100%
Total	150 horas	-

Bibliografía básica

Recuerda que la bibliografía básica es imprescindible para el estudio de la asignatura. Cuando se indica que no está disponible en el aula virtual, tendrás que obtenerla por otros medios: librería UNIR, biblioteca...

Los textos necesarios para el estudio de la asignatura han sido elaborados por UNIR y están disponibles en formato digital para consulta, descarga e impresión en el aula virtual.

Bibliografía complementaria

• Anishchenko, V. S., Vadisova, T. E. y Strelkova, G. I. (2014). Deterministic nonlinear systems. A short course. Springer.
• Babajee, D. K. R., Cordero, A. y Torregrosa, J. R. (2016). Study of iterative methods through the cayley quedratic test. Journal os computational and applied mathematics, 244, 398-412
• Behl, R., Cordero, A., Motsa, S. S. y Torregrosa, J. R. (2015). On developing fourth-order optical families of methods for multiple roots and their dymanics. Applied mathematics and computation.
• Blanchard, P., Devaney, R. L. y Hall, G. R. (1999). Differential equations. Universidad de Boston.
• Campos, B., Cordero, A., Torregrosa, J. R. y Vindel, P. (2015). Dynamics of the family of c-iterative methods. International journal of computer mathematics, 92(9), 1815-1825.
• Cordero, A., Torregrosa, J. R. y Vindel, P. (2013). Dynamics of chebyshev-helley type methods. Applied mathematics and computation. Elsevier.
• Cordero, A., Lofti, T., Mahdiani, K., Torregrosa, J. R. (2014). Two optimal general clases iterative methods with eighth-order. Acta applicandae mathematicae, 134(1), 61-74.
• Cordero, A., Lofti, T., Bakhtiari, P. y Torregrosa, J. R. (2015). An efficeint two-parametric family with memory for nonlinear equations. Numerical algorithms, 68(2), 323-335.
• Cordero, A. Magreñán, A., Quemada, C. y Torregrosa, J. R. (2016). Stability study of eight-order iterative methods for solving nonlinear equations. Journal of computational and applied mathematics, 291, 348-357.
• Franco-Medrano, F. y Solís, F. J. (2015). Stability of real parametric polynomial discrete dynamica systems.  Zhan Zhou.
• Hirsch, M. W., Smale, S. y Devaney, R. L. (2004). Differential equations, dynamical systems, and an introduction to Chaos.  Elsevier.
• Izquierdo, J. y Torregrosa, J. R. (1997). Álgebra y ecuaciones diferenciales. Universidad Politécnica de Valencia.

• Zill, D. G. y Cullen, M. R. (2008). Matemáticas avanzadas para la ingeniería. Ecuaciones diferenciales.  McGraw Hill.

El sistema de calificación se basa en la siguiente escala numérica:

0 - 4, 9	Suspenso	(SS)
5,0 - 6,9	Aprobado	(AP)
7,0 - 8,9	Notable	(NT)
9,0 - 10	Sobresaliente	(SB)

La calificación se compone de dos partes principales:

El examen se realiza al final del cuatrimestre y es de carácter PRESENCIAL y OBLIGATORIO. Supone el 60 % de la calificación final, y, para que la nota obtenida en este examen se sume a la nota final, es obligatorio APROBARLO.

La evaluación continua supone el 40 % de la calificación final. Este 40 % de la nota final se compone de las calificaciones obtenidas en las diferentes actividades formativas llevadas a cabo durante el cuatrimestre.

Ten en cuenta que la suma de las puntuaciones de las actividades de la evaluación continua permite que realices las que prefieras hasta conseguir el máximo puntuable mencionado. En la programación semanal de la asignatura, se detalla la calificación máxima de cada actividad o evento concreto puntuables.

Sistema de evaluación	Ponderación min - max
Participación del estudiante (sesiones, foros, tutorías)	0% - 40%
Trabajos, proyectos, laboratorios/talleres y casos	0% - 40%
Test de autoevaluación	0% - 40%
Examen final presencial	60% - 60%

Javier Martínez Torres

Formación académica: Doctor en Ingeniería por la Universidad de Vigo y licenciado en Matemáticas por la Universidad de Santiago, en la especialidad de Matemática Aplicada.

Experiencia: Comenzó su trayectoria profesional como consultor en Everis Spain. A continuación, fue profesor contratado doctor en el Centro Universitario de la Defensa (CUD) de Zaragoza y profesor ayudante doctor en el CUD de Marín. Más tarde, fue el director del I y II Máster en Técnicas de Ayuda a la Decisión en la Universidad de Alcalá. En la actualidad, además de ser profesor de la Escuela de Ingeniería y Tecnología, es profesor tutor de la UNED en el centro asociado de Pontevedra.

Líneas de investigación: Sus principales líneas de investigación son las técnicas de estadística funcionales, la inteligencia artificial y el procesado de imagen. Actualmente, está inmerso en un proyecto nacional de seguimiento de pacientes de psoriasis (basado en imagen) y colabora con el grupo de investigación CI5 de la Escuela de Minas de la UVIGO. Además, desarrolla proyectos con empresas privadas en el ámbito de la Ciencia de Datos.

Al tratarse de formación online, puedes organizar tu tiempo de estudio como desees, siempre y cuando vayas cumpliendo las fechas de entrega de las actividades y la fecha de exámenes. Nosotros, para ayudarte, te proponemos los siguientes pasos:

1. Desde el campus virtual, podrás acceder al aula virtual de cada asignatura en la que estés matriculado y, además, al aula virtual del Curso de introducción al campus virtual. Aquí podrás consultar la documentación disponible sobre cómo se utilizan las herramientas del aula virtual y sobre cómo se organiza una asignatura en UNIR. También podrás organizar tu plan de trabajo con tu tutor personal.
2. Observa la programación semanal. Allí te indicamos qué parte del temario debes trabajar cada semana.
3. Ya sabes qué trabajo tienes que hacer durante la semana. Accede ahora a la sección Temas del aula virtual. Allí encontrarás el material teórico y práctico del tema correspondiente a esa semana.
4. Comienza con la lectura de las Ideas clave del tema. Este material es el que debes estudiar para superar la asignatura. Consulta, además, las secciones del tema que contienen material complementario: con esto podrás tener una visión más amplia sobre el tema que estás trabajando.
5. Dedica tiempo al trabajo práctico (sección Actividades). En la programación semanal te detallamos cuáles son las actividades correspondientes a cada semana y qué calificación máxima puedes obtener con cada una de ellas.
6. Te recomendamos que participes en los eventos del curso (clases en directo, foros de debate…). Para conocer la fecha concreta de celebración de los eventos, debes consultar las herramientas de comunicación del aula vitual. Tu profesor y tu tutor personal te informarán de las novedades de la asignatura.

En el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual encontrarás siempre disponible la documentación donde te explicamos cómo se estructuran los temas y qué podrás encontrar en cada una de sus secciones. Tambén puedes consulltar ahí el funcionamiento de las distintas herramientas del aula virtual: Correo, Foro, Clases en directo, Envío de actividades, etc.