Última revisión realizada: 19/01/2021

Denominación de la asignatura	Geometría Diferencial Aplicada
Postgrado al que pertenece	Máster universitario en Ingeniería Matemática y Computación
Créditos ECTS	6
Curso y cuatrimestre en el que se imparte	Primer cuatrimestre
Carácter de la asignatura	Obligatoria

Presentación

Distintas aplicaciones de la ingeniería, como la robótica, la cartografía o el diseño por ordenador necesitan del estudio de curvas y superficies. En esta asignatura se presentan los contenidos fundamentales para poder entender las bases teóricas de esta disciplina y algunas de sus aplicaciones más comunes.

Para poder describir el espacio físico que nos rodea es necesario estudiar la geometría de superficies y trayectorias curvas que modelan de forma adecuada las superficies reales de los objetos y las trayectorias que describen (las trayectorias rectas y las superficies planas son muy poco frecuentes).

Este curso empieza con los fundamentos matemáticos para la definición de curvas y superficies: parametrización de curvas en el espacio, definición y parametrización de superficies, primera y segunda forma fundamental, isometrías locales entre superficies y una introducción a las variedades diferenciables.

A continuación se explican los fundamentos de interpolación, las curvas de Bézier, los B-splines y las aplicaciones que tienen estas herramientas matemáticas (programas de dibujo vectorial, diseño de automóviles, etc.).

También se estudia la detección de colisiones y la planificación de caminos mediante distintos métidos como los diagramas de Voronoi y por último, el espacio dual y su aplicación a la prensión en robótica.

De esta forma el alumno tendrá una visión general de los fundamentos y las aplicaciones de la Geometría Diferencial que le permitirá especializarse o investigar en cualquiera de las ramas en que se aplica.

Competencias

Básicas

• CB7. Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
• CB8. Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
• CB10. Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

Generales

• CG1. Aplicar pensamiento crítico, lógico y creativo en la vanguardia del cmapo de estudio, en un contexto de investigación.
• CG2. Capacidad para dirigir, planificar y supervisar equipos multidisciplinares.
• CG4. Buscar y utilizar los recursos bibliográficos, físicos y/o electrónicos necesarios para abordar un problema.

• CG5. Presentar ideas, procedimientos o informes de investigación, así como asesorar a personas u organizaciones en su ámbito de especialización en Ingeniería Matemática y la Computación.
• CG6. Comprender y utilizar de manera avanzada el lenguaje y las herramientas matemáticas para modelizar, simular y resolver problemas complejos del ámbito de la ingeniería y de la industria, reconociendo y valorando las situaciones y problemas susceptibles de ser tratados matemáticamente.

Transversales

• CT2. Identificar las nuevas tecnologías como herramientas didácticas para el intercambio comunicacional en el desarrollo de procesos de indagación y de aprendizaje.
• CT4. Adquirir la capacidad de trabajo independiente, impulsando la organización y favoreciendo el aprendizaje autónomo.

Específicas

• CE14. Capacidad para parametrizar las curvas en el plano y en el espacio y para aplicar la teoría de curvas y superficies a la robótica.
• CE15. Capacidad para asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos relacionados con la robótica.

Contenidos

Tema 1. Introducción: álgebra lineal y geometría
Espacios y subespacios vectoriales.
Aplicaciones lineales. Movimientos rígidos.
Métrica y producto escalar.
Definición de objetos geométricos.
Intersección de objetos geométricos.

Tema 2. Parametrización de curvas en el plano
Curvas diferenciables en .
Teoría local de curvas planas.

Tema 3. Parametrización de curvas en el espacio
Triedro de Frenet.
Curvatura y torsión.
Teorema fundamental de curvas.

Tema 4. Superficies regulares
Definición de superficies. Parametrizaciones.
Cambio de coordenadas.
Superficies de revolución.
Plano tangente.

Tema 5. Superficie en el espacio euclídeo
Primera forma fundamental.
Orientabilidad.
Segunda formal fundamental.

Tema 6. Curvaturas
Curvaturas principales.
Curvaturas de Gauss y media.
Clasificación de los puntos de una superficie.
Coeficientes de la segunda forma fundamental.

Tema 7. Teoría local de superficies
Isometrías.
Teorema egregio de Gauss.
Geodésicas.
Variedades diferenciables.

Tema 8. Interpolación numérica
Introducción.
Interpolación de Lagrange.
Fórmula de interpolación de Newton.
Splines.

Tema 9. B-splines
Introducción.
B-splines cúbico uniforme.
Generalización de b-spline.
Algoritmo de Boor.

Tema 10. Curvas de Bézier
Introducción.
Polinomios de Bernstein.
Curvas de Bézier.
Unión de curvas.

Tema 11. Detección de colisiones
Introducción al problema.
Modelos del entorno.
Planificación.

Tema 12. Dualidad
Introducción al ray tracing.
Cálculo de la discrepancia.
Principio de dualidad.
Solución del problema.

Las actividades formativas de la asignatura se han elaborado con el objetivo de adaptar el proceso de aprendizaje a las diferentes capacidades, necesidades e intereses de los alumnos.

Las actividades formativas de esta asignatura son las siguientes:

• Trabajos: Actividades de cierta complejidad que conllevan por ejemplo una búsqueda de información, análisis y crítica de lecturas, resolución de problemas, etc.
• Casos prácticos: El objetivo pedagógico es que el estudiante detecte situaciones relevantes, analice la información complementaria, tome decisiones en relación con el escenario que se plantea y proponga soluciones o indique cómo mejorar la situación de partida.
• Laboratorios virtuales: Son sesiones presenciales virtuales que se llevan a cabo con herramientas de videoconferencia cuyo objetivo es que los alumnos utilicen algún tipo de herramienta informática para realizar uno o varios supuestos prácticos.
• Test de autoevaluación: al final de cada tema, los estudiantes pueden realizar este tipo de test, que permite al profesor valorar el interés del estudiante en la asignatura.

En la programación semanal puedes consultar cuáles son las actividades concretas que tienes que realizar en esta asignatura.

Estas actividades formativas prácticas se completan, por supuesto, con estas otras:

• Estudio personal
• Tutorías. Las tutorías se pueden articular a través de diversas herramientas y medios. Durante el desarrollo de la asignatura, el profesor programa tutorías en días concretos para la resolución de dudas de índole estrictamente académico a través de las denominadas “sesiones de consultas”. Como complemento de estas sesiones se dispone también del foro “Pregúntale al profesor de la asignatura” a través del cual se articulan algunas preguntas de alumnos y las correspondientes respuestas en el que se tratan aspectos generales de la asignatura. Por la propia naturaleza de los medios de comunicación empleados, no existen horarios a los que deba ajustarse el alumno.
• Examen final presencial

Las horas de dedicación a cada actividad se detallan en la siguiente tabla:

ACTIVIDADES FORMATIVAS	HORAS
Sesiones presenciales virtuales	15,0
Lecciones magistrales	6,0
Estudio del material básico	50,0
Lectura de material complementario	25,0
Trabajos, casos prácticos, test	17,0
Sesiones prácticas de laboratorio virtual	12,0
Tutorías	16,0
Trabajo colaborativo	7,0
Evaluación Final	2,0
Total	150

 

Bibliografía

Bibliografía básica

Los textos necesarios para el estudio de la asignatura han sido elaborados por la UNIR y están disponibles en formato digital para consulta, descarga e impresión en el aula virtual.

Bibliografía complementaria

Abate, M. y Tovena, F. (2012). Curves and surfaces, Unitext. Alemania: Springer.

Berg, M. (2008). Computational geometry: alkgorithms and applications. London: Springer.

Biswas, S. y Lovell, B. C. (2007). Bézier and splines in image processing and machine vision. London: Springer.

Coutinho, M.G. (2012). Guide to dynamic simulations of rigid bodies and particle systems. London: Springer.

Do Carmo, M. P. (2016). Differential Geometry of Curves & Surfaces. Revised and Updated Second Edition. Estados Unidos: Dover Publications.

Farin, G. (2002). Curves and surfaces for CACD: a practical guide (5th ed.). San Francisco: Morgan Kaufmann.

Gray, A., Abbena, E. y Salamon, S. (2006). Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica (3rd ed.). Reino Unido: Chapman and Hall.

Montiel, S. y Ros, A. (2009). Curves and Surfaces, American Mathematical Society (2nd ed.). Granada: Universidad de Granada.

Prautzsch, H., Boehm, W. y Paluszny, M. (2005). Métodos de Bézier y B-splines. Alemania: Karlsruhe Universiätsverlag.

Salamon, D. (2006). Curves and surfaces for computer graphics. Alemania: Springer.

Tapp, K. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces. Alemania: Springer.

Evaluación y calificación

El sistema de calificación se basa en la siguiente escala numérica:

0 - 4, 9	Suspenso	(SS)
5,0 - 6,9	Aprobado	(AP)
7,0 - 8,9	Notable	(NT)
9,0 - 10	Sobresaliente	(SB)

La calificación se compone de dos partes principales:

El examen se realiza al final del cuatrimestre y es de carácter PRESENCIAL y OBLIGATORIO. Supone el 60% de la calificación final y para que la nota obtenida en este examen se sume a la nota final, es obligatorio APROBARLO.

La evaluación continua supone el 40% de la calificación final. Este 40% de la nota final se compone de las calificaciones obtenidas en las diferentes actividades formativas llevadas a cabo durante el cuatrimestre.

Ten en cuenta que la suma de las puntuaciones de las actividades de la evaluación continua permite que realices las que prefieras hasta conseguir el máximo puntuable mencionado en la programación semanal. En ella se detalla la calificación máxima de cada actividad o evento concreto puntuables.

El sistema de evaluación de la asignatura es el siguiente:

SISTEMA DE EVALUACIÓN	PONDERACIÓN MIN	PONDERACIÓN MAX
Participación del estudiante (sesiones, foros, tutorías)	0%	40%
Trabajos, proyectos, laboratorios/talleres y/o casos	0%	40%
Test de autoevaluación	0%	40%
Examen final presencial	60%	60%

 

Profesorado

Marc Jorba Cuscó

Formación

Es graduado en Matemáticas (Universitat Autònoma de Barcelona, 2012), tiene un Máster en Matemáticas avanzadas (Universitat de Barcelona, 2013) así como un doctorado en Matemáticas (Universitat de Barcelona, 2019).

Experiencia

Ha trabajado como docente en la Universitat de Barcelona desde 2013 a 2018. Primero con una beca de apoyo a la docencia cuando cursaba estudios de Máster. Luego, dando clases durante el desarrollo de su tesis doctoral. En particular, ha impartido asignaturas de programación, métodos numéricos y ecuaciones diferenciales. En 2019 trabajó en la Universitat Pompeu Fabra impartiendo un curso de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Colabora con UNIR desde 2019 tutorizando TFMs.

Líneas de investigación

Su área de investigación son los sistemas dinámicos (SD) aplicados a la astrodinámica. Ha trabajado, sobretodo, en el estudio de la dinámica natural del sistema Tierra-Luna y su sensibilidad a las perturbaciones solares (gravedad y presión de radiación solar). También ha trabajado en problemas de recolisión de particulas en un átomo y (en un ámbito teórico) en la fractalización de curvas invariantes. Todo esto en el grupo de SD de la UB. Tambiém ha estudiado el sistema Marte-Phobos el CNES.

Orientaciones para el estudio

Obviamente, al tratarse de formación online puedes organizar tu tiempo de estudio como desees, siempre y cuando vayas cumpliendo las fechas de entrega de actividades, trabajos y exámenes. Nosotros, para ayudarte, te proponemos los siguientes pasos:

1. Desde el Campus virtual podrás acceder al aula virtual de cada asignatura en la que estés matriculado y, además, al aula virtual del Máster. Aquí podrás consultar la documentación disponible sobre cómo se utilizan las herramientas del aula virtual y sobre cómo se organiza una asignatura en la UNIR y también podrás organizar tu plan de trabajo personal con tu profesor-tutor.
2. Observa la programación semanal. Allí te indicamos qué parte del temario debes trabajar cada semana.
3. Ya sabes qué trabajo tienes que hacer durante la semana. Accede ahora a la sección Temas del aula virtual. Allí encontrarás el material teórico y práctico del tema correspondiente a esa semana.
4. Comienza con la lectura de las Ideas clave del tema. Este resumen te ayudará a hacerte una idea del contenido más importante del tema y de cuáles son los aspectos fundamentales en los que te tendrás que fijar al estudiar el material básico. Lee siempre el primer apartado, ¿Cómo estudiar este tema?, porque allí te especificamos qué material tienes que estudiar. Consulta, además, las secciones del tema que contienen material complementario (Lo + recomendado y + Información).
5. Dedica tiempo al trabajo práctico (sección Actividades y Test). En la programación semanal te detallamos cuáles son las actividades correspondientes a cada semana y qué calificación máxima puedes obtener con cada una de ellas.
6. Te recomendamos que participes en los eventos del curso (sesiones presenciales virtuales, foros de debate…). Para conocer la fecha concreta de celebración de los eventos debes consultar las herramientas de comunicación del aula vitual. Tu profesor y tu profesor-tutor te informarán de las novedades de la asignatura.

 

Ten en cuenta estos consejos… Sea cual sea tu plan de estudio, accede periódicamente al aula virtual, ya que de esta forma estarás al día de las novedades del curso y en contacto con tu profesor y con tu profesor tutor. Recuerda que no estás solo: consulta todas tus dudas con tu profesor-tutor utilizando el correo electrónico. Si asistes a las sesiones presenciales virtuales también podrás preguntar al profesor sobre el contenido del tema. Además, siempre puedes consultar tus dudas sobre el temario en los foros que encontrarás en cada asignatura (Pregúntale al profesor). ¡Participa! Siempre que te sea posible accede a los foros de debate y asiste a las sesiones presenciales virtuales. El intercambio de opiniones, materiales e ideas nos enriquece a todos. Y ¡recuerda!, estás estudiando con metodología on line: tu esfuerzo y constancia son imprescindibles para conseguir buenos resultados. ¡No dejes todo para el último día!