Presentación

El análisis matemático es una rama de las matemáticas cuyos contenidos giran en torno a tres grandes conceptos: función, límite e infinito. Desde la didáctica de la matemática se estudian los procesos de enseñanza y aprendizaje, poniendo especial énfasis en el papel del profesor como facilitador de la comprensión y en los procesos cognitivos que tienen lugar en la mente del estudiante para construir nuevo conocimiento.
La dificultad intrínseca de los conceptos que engloba el análisis matemático, junto con los obstáculos didácticos que en ocasiones derivan de una práctica centrada en la mera adquisición de conocimiento, hacen de esta rama de las matemáticas un foco constante de atención en la didáctica de las matemáticas. Esta preocupación se ve también impulsada por la importancia de los contenidos propios del análisis matemático en su aplicación a la vida real y que otras disciplinas, principalmente de Ciencias, necesitan como soporte para su estudio.

Competencias

Competencias básicas

• CB6. Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
• CB7. Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
• CB8. Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
• CB9. Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.
• CB10. Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.
  

Competencias generales

• CG1. Describir y analizar la influencia y repercusión de las Matemáticas sobre la realidad social de cada época, sus aportaciones al conocimiento científico y tecnológico y su situación actual.
• CG2. Conocer y concretar el currículo de las Matemáticas en los niveles de Educación Secundaria y Bachillerato.
• CG3. Analizar entornos de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas con objeto de planificar los procedimientos que satisfagan y resuelvan las necesidades concretas y problemas específicos que se detecten.
• CG4. Integrar y valorar actividades, estrategias y recursos didácticos en el proceso de aprendizaje de las Matemáticas en el aula.
• CG5. Incorporar las tecnologías de la información y la comunicación al proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas.
• CG6. Planificar, desarrollar y evaluar el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas atendiendo al nivel y competencias de los alumnos.
• CG7. Crear ámbitos de aprendizaje de las Matemáticas que potencien la equidad, el respeto, la igualdad, la formación ciudadana y la sostenibilidad en el aula.
• CG8. Considerar y utilizar conocimientos teóricos y metodológicos que posibiliten la innovación educativa en la didáctica de las Matemáticas.
  
• CG9. Exponer y transmitir los conocimientos adquiridos en el área de las Matemáticas haciendo uso de un lenguaje formal, claro y comprensible.
  

Competencias específicas

• CE2. Conocer y analizar estrategias y procedimientos que favorezcan el desarrollo de la motivación en ámbitos de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en Educación Secundaria y Bachillerato.
• CE11. Diseñar materiales didácticos adecuados para la enseñanza de las Matemáticas en el área del análisis en secundaria.
• CE15. Valorar las herramientas metodológicas y los recursos didácticos necesarios para la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en el área del análisis.
• CE18. Implementar programas informáticos en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas.
• CE19. Identificar errores lógicos en los procedimientos matemáticos.
• CE20. Utilizar el razonamiento lógico para argumentar y validar la toma de decisiones en el desarrollo de los contenidos curriculares en el aula de Matemáticas.
• CE21. Transferir el conocimiento y experiencia matemáticos a contextos no matemáticos.
• CE22. Ser capaz de mostrar el aspecto lúdico de las Matemáticas.
• CE23. Generar curiosidad y fomentar el interés por las Matemáticas y sus múltiples aplicaciones.
• CE24. Conocer y aplicar los aportes de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) a la enseñanza de las Matemáticas.

Competencias transversales

• CT1. Organizar y planificar las tareas aprovechando los recursos, el tiempo y las competencias de manera óptima.
• CT2. Identificar las nuevas tecnologías como herramientas didácticas para el intercambio comunicacional en el desarrollo de procesos de indagación y de aprendizaje.
• CT4. Adquirir la capacidad de trabajo independiente, impulsando la organización y favoreciendo el aprendizaje autónomo.

Contenidos

Tema 1. Conocimiento del profesor para la enseñanza
El conocimiento del profesor para la enseñanza
Conocimiento matemático para la enseñanza (MKT)
El cuarteto del conocimiento (KQ)
Referencias bibliográficas

Tema 2. Modelos teóricos del Pensamiento Matemático Avanzado
La necesidad de un modelo
Modelos cognitivos del aprendizaje
La teoría APOS
La teoría de la reificación de Anna Sfard
La teoría de Tall y otros
Referencias bibliográficas

Tema 3. Algunas notas históricas del Análisis Matemático
Uso de la Historia en la enseñanza
Paseo breve por la historia del Análisis atemático
Ejemplo de aplicación
Referencias bibliográficas

Tema 4. Dificultades en el aprendizaje del Análisis Matemático
Introducción
Dificultades
Obstáculos
Errores
Algunos remedios para vencer dificultades y obstáculos
Referencias bibliográficas

Tema 5. Límite
La noción de límite
La perspectiva del marco teórico APOS
Esquemas conceptuales y factores potenciales de conflicto
Elementos matemáticos demandados y obstáculos
Referencias bibliográficas

Tema 6. Infinito
La noción de infinito
La dualidad proceso/objeto
Modelos tácitos
Inconsistencias e incoherencias
Referencias bibliográficas

Metodología

Las actividades formativas de la asignatura se han elaborado con el objetivo de adaptar el proceso de aprendizaje a las diferentes capacidades, necesidades e intereses de los alumnos.

Las actividades formativas de esta asignatura son las siguientes:

• Trabajos. Se trata de actividades de diferentes tipos: reflexión, análisis de casos, prácticas, etc.
• Participación en eventos. Son eventos programados todas las semanas del cuatrimestre: sesiones presenciales virtuales, foros de debate, test.

En la programación semanal puedes consultar cuáles son las actividades concretas que tienes que realizar en esta asignatura.

Estas actividades formativas prácticas se completan, por supuesto, con estas otras:

• Estudio personal
• Tutorías. Las tutorías se pueden articular a través de diversas herramientas y medios. Durante el desarrollo de la asignatura, el profesor programa tutorías en días concretos para la resolución de dudas de índole estrictamente académico a través de las denominadas “sesiones de consultas”. Como complemento de estas sesiones se dispone también del foro “Pregúntale al profesor de la asignatura” a través del cual se articulan algunas preguntas de alumnos y las correspondientes respuestas en el que se tratan aspectos generales de la asignatura. Por la propia naturaleza de los medios de comunicación empleados, no existen horarios a los que deba ajustarse el alumno.
• Examen final presencial

Las horas de dedicación a cada actividad se detallan en la siguiente tabla:

Bibliografía

Bibliografía básica

Los textos necesarios para el estudio de la asignatura han sido elaborados por UNIR y están disponibles en formato digital para consulta, descarga e impresión en el aula virtual.

Además, en algunos temas deberás estudiar la siguiente bibliografía:

Tema 1

Ball, D. L., Hoover, M., & Phelps, G. (2008). Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407. Disponible en: http://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/0022487108324554

Rowland, T. (2013). The Knowledge Quartet: The Genesis and Application of a Framework for Analysing Mathematics Teaching and Deepening Teachers’ Mathematics Knowledge. SISYPHUS Journal of Education, 1(3), 15-43. Disponible en: http://revistas.rcaap.pt/sisyphus/article/view/3705

Tema 2

Trigueros, M. (2005) La noción de esquema en la investigación en matemática educativa a nivel superior. Educación Matemática, 17(1), 5-31. Disponible en: http://www.redalyc.org/pdf/405/40517101.pdf

Tall y Vinner (1981) Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 151-169. Disponible en: http://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1981a-concept-image.pdf

Dubinsky y McDonald (2001) APOS: a constructivist theory of learning in undergraduate mathematics education research. En D. Holton, M. Artigue, U. Kirchgräber, J. Hillel, M. Niss, y A. Schoenfeld (Eds.), The teaching and learning of mathematics at university level: An ICMI study (pp. 275-282). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Disponible en:http://www.math.wisc.edu/~wilson/Courses/Math903/ICMIPAPE.PDF

Tema 3

Sierra, M. (2000). El papel de la Historia de la matemática en la enseñanza. En A. Martinón (ed.). Las matemáticas del siglo XX. Una mirada en 101 artículos (pp. 93-96). Madrid: Nivola. Disponible en: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/43-44/Articulo18.pdf

Furinghetti, F. (2007). Teacher education through the history of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 66(2), 131-143.
Disponible en la Biblioteca Virtual de UNIR.

* Esta obra está protegida por el derecho de autor y su reproducción y comunicación pública, en la modalidad puesta a disposición, se ha realizado en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual. Queda prohibida su posterior reproducción, distribución, transformación y comunicación pública en cualquier medio y de cualquier forma.

Tema 4

Hitt, F. (2003). Dificultades en el aprendizaje del cálculo. Acta Didactica Universitatis Comenianae Mathematics, 10, 69-86. Disponible en:https://www.academia.edu/807014/Dificultades_en_el_aprendizaje_del_c%C3%A1lculo

Rico, L. (1995). Errores y dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. Disponible en: https://www.funes.uniandes.edu.co/486/1/RicoL95-100.PDF

Llorens, J. L., Santonjan, F. J. (1997). Una interpretación de las dificultades en el aprendizaje del concepto de integral. Divulgaciones Matemáticas, 5(1/2), 61-76. Disponible en: https://www.emis.de/journals/DM/v5/art7.pdf

Tema 5

Przenioslo, M. (2004). Images of the limit of function formed in the course of mathematical studies at the university. Educational Studies in Mathematics, 55, 103-132.
ISSN: 0013-1954
Disponible en el aula virtual en virtud del artículo 32.4 de la Ley de Propiedad Intelectual*.

Fernández-Plaza, J. A., Ruiz-Hidalgo, J. F., Rico, L. (2015) Razonamientos basados en el concepto de límite finito de una función en un punto. Enseñanza de las Ciencias, 33(2), pp. 211-229. Disponible en: http://ensciencias.uab.es/article/view/v33-n2-fernandez-ruiz-rico

Tema 6

Garbin, S., Azcárate, C. (2002). Infinito actual e inconsistencias: acerca de las incoherencias en los esquemas conceptuales de alumnos de 16-17 años. Enseñanza de las Ciencias, 20(1), 87-113. Disponible en: http://www.raco.cat/index.php/ensenanza/article/viewFile/21786/21620

Weller, K., Brown, A., Dubinsky, E., McDonald, M., Stenger, C. (2004). Intimations of infinity. Notices of the American Mathematical Society, 51(7), 741-750. Disponible en: www.ams.org/notices/200407/fea-dubinsky.pdf

Bibliografía complementaria

Asiala, M., Brown, A., DeVries, D. J., Dubinsky, E., Mathews, D., y Thomas, K. (1996). A framework for research and development in undergraduate mathematics education. En J. Kaput, A. H. Schoenfeld, y E. Dubinsky (Eds.), Research in Collegiate Mathematics Education II, Conference Board of the Mathematical Sciences (CBMS), Issues in Mathematics Education, 6, 1-32. Providence: American Mathematical Society.

Blanco, L. J. (2001). Errors in the teaching/learning of the basic concepts of geometry. International Journal for Mathematics Teaching and Learning, 24 de mayo de 2001. Disponible en http://www.cimt.plymouth.ac.uk/journal/lberrgeo.pdf

Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, 4(2), 165-198.

Brousseau, G. (1997). La théorie des situations didactiques. Conferencia de Montreal. Dispnible en:  http://math.unipa.it/~grim/ brousseau_montreal_03.pdf

Codes, M. (2010). Análisis de la comprensión de los conceptos de serie numérica y su convergencia en estudiantes de primer curso de universidad utilizando un entorno computacional. Tesis doctoral. Universidad de Salamanca. Recuperado de: http://gredos.usal.es/jspui/handle/10366/76452

Cornu, B. (1991). Limits. En D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking (pp. 153-166). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Dreyfus, T. (1991). Advanced mathematical thinking processes. En D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking (pp.25-41). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Edwards, B. S., Dubinsky, E., y McDonald, M. (2005). Advanced mathematical thinking. Mathematical Thinking and Learning, 7(1), 15-25.

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Font, V. (2011). Funciones. En J. M. Goñi (Coord.). Matemáticas. Complementos de formación disciplinar. Barcelona: Graó.

Gray, E., Tall. D. (1991). Duality, Ambiguity and Flexibility in Successful Mathematical Thinking. Proceedings of PME 15, 2, 72–79. Disponible en: http://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1991h-gray-procept-pme.pdf

González, P. M. (2004). La historia de las matemáticas como recurso didáctico e instrumento para enriquecer culturalmente su enseñanza. Suma, 45, 17-28 Recuperado de:  http://revistasuma.es/IMG/pdf/45/017-028.pdf

Radu, I., Weber, K. (2011). Refinements in mathematics undergraduate students' reasoning on completed infinite iterative processes Studies in Mathematics, 78(2), 165-180.

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Selden, A., Selden, J. (2005). Perspectives on advanced mathematical thinking. Mathematical Thinking and Learning, 7(1), 1-13.

Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Research, 15(2), 4-14.

Shulman, L. S. (1987). Knowledge and teaching: foundations of new reform. Harvard Educational Review, 57(1), 1-22.

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36.

Sfard, A., Linchevski, L. (1994). The gains and the pitfalls of reification: The case of algebra. Educational Studies in Mathematics, 26, 191-228. Disponible en: http://academic.sun.ac.za/mathed/174/GainsAndPitfalls.pdf

Socas, M. (1997). Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las matemáticas en la educación secundaria. En L. Rico, E. Castro, M. Coriat, L. Puig, M. Sierra, y M. Socas (Eds.), La educación matemática en la enseñanza secundaria (pp.125-154). Barcelona: ICE Universitat de Barcelona- Horsori.

Socas, M. (2008). Dificultades y errores en el aprendizaje de las Matemáticas. Análisis desde el Enfoque Lógico Semiótico. En M. Camacho, P. Flores, y P. Bolea (Eds.), Investigación en Educación Matemática XI (pp. 19-52). San Cristóbal de La Laguna, Tenerife: Caja Canarias. Recuperado de: http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=2696955

Tall, D. (1991). The psychology of Advanced Mathematical Thinking. En D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking, 3-21. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Disponible en: http://homepages.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/ pdfs/dot1991k-psychology-of-amt.pdf

Tall, D., Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 151-169. Disponible en:
http://homepages.warwick.ac.uk/ staff/David.Tall/pdfs/dot1981a-concept-image.pdf

Tall, D. (1989). New cognitive obstacles in a technological paradigm. Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra, N.C.T.M., 87-92.

Tall, D., Schwarzenberger, R. L. E. (1978). Conflicts in the learning of real numbers and limit. Mathematics Teaching, 82, 44-49.

Evaluación y calificación

El sistema de calificación se basa en la siguiente escala numérica:

La calificación se compone de dos partes principales:

El examen se realiza al final del cuatrimestre y es de carácter PRESENCIAL y OBLIGATORIO. Supone el 60% de la calificación final (6 puntos sobre 10) y para que la nota obtenida en este examen se sume a la nota final, es obligatorio APROBARLO (es decir, obtener 3 puntos de los 6 totales del examen).

La evaluación continua supone el 40% de la calificación final (es decir, 4 puntos de los 10 máximos). Este 40% de la nota final se compone de las calificaciones obtenidas en las diferentes actividades formativas llevadas a cabo durante el cuatrimestre.

Ten en cuenta que la suma de las puntuaciones de las actividades de la evaluación continua es de 6 puntos. Así, puedes hacer las que prefieras hasta conseguir un máximo de 4 puntos (que es la calificación máxima que se puede obtener en la evaluación continua). En la programación semanal de la asignatura, se detalla la calificación máxima de cada actividad o evento concreto puntuables.

Profesorado

Luis Dubarbie

Formación académica: Doctor en Ciencias Matemáticas por la Universidad de Cantabria. Licenciado en Ciencias Matemáticas por la Universidad de Cantabria. CAP (Certificado de Aptitud Pedagógica) por la Universidad de Navarra.

Experiencia: Profesor y director de TFM en UNIR. Experiencia docente en la Universidad de Cantabria. Experiencia docente en Secundaria. Colaboraciones editoriales. Autor de publicaciones científicas. Participación en congresos.

Líneas de investigación: Didáctica de las matemáticas. Análisis matemático.

Orientaciones para el estudio

Obviamente, al tratarse de formación online puedes organizar tu tiempo de estudio como desees, siempre y cuando vayas cumpliendo las fechas de entrega de actividades, trabajos y exámenes. Nosotros, para ayudarte, te proponemos los siguientes pasos:

1. Desde el Campus virtual podrás acceder al aula virtual de cada asignatura en la que estés matriculado y, además, al aula virtual del Curso de introducción al campus virtual. Aquí podrás consultar la documentación disponible sobre cómo se utilizan las herramientas del aula virtual y sobre cómo se organiza una asignatura en la UNIR y también podrás organizar tu plan de trabajo personal con tu profesor-tutor.
2. Observa la programación semanal. Allí te indicamos qué parte del temario debes trabajar cada semana.
3. Ya sabes qué trabajo tienes que hacer durante la semana. Accede ahora a la sección Temas del aula virtual. Allí encontrarás el material teórico y práctico del tema correspondiente a esa semana.
4. Comienza con la lectura de las Ideas clave del tema. Este resumen te ayudará a hacerte una idea del contenido más importante del tema y de cuáles son los aspectos fundamentales en los que te tendrás que fijar al estudiar el material básico. Lee siempre el primer apartado, ¿Cómo estudiar este tema?, porque allí te especificamos qué material tienes que estudiar. Consulta, además, las secciones del tema que contienen material complementario (Lo + recomendado y + Información).
5. Dedica tiempo al trabajo práctico (sección Actividades y Test). En la programación semanal te detallamos cuáles son las actividades correspondientes a cada semana y qué calificación máxima puedes obtener con cada una de ellas.
6. Te recomendamos que participes en los eventos del curso (sesiones presenciales virtuales, foros de debate…). Para conocer la fecha concreta de celebración de los eventos debes consultar las herramientas de comunicación del aula vitual. Tu profesor y tu profesor-tutor te informarán de las novedades de la asignatura.

Recuerda que en el aula virtual del Curso de introducción al campus virtual puedes consultar el funcionamiento de las distintas herramientas del aula virtual: Correo, Foro, Sesiones presenciales virtuales, Envío de actividades, etc.